Билет 27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.

Матрица размерности n вида l0 на главной диагонали, а 1 над ними называется жордановой клеткой n-ого порядка. Характеристический многочлен (l0 – l)^k, l0 – собственное значение, кратности n. Имеет один собственный вектор.

Рассмотрим произвольное корневое подпространство. Для построение корневого подпространства надо найти момент стабилизации. Будем строить базис в обратном порядке. Построим векторы, дополняющие произвольный базис пространства перед стабилизацией, они будут корневыми векторами максимальной высоты и их количество – разность размерностей на последней и предпоследней высоте. Эти векторы линейно независимы над Nq-1. Помножим каждый из этих векторов на сдвинутый оператор и дополним систему из них и произвольный базис из Nq-2 до базиса Nq-1. Аналогично будем доходить до N1. Полученную за q шагов систему векторов будем называть жордановой лестницей.

Т Построенная система векторов образует базис корневого подпространства (почти очевидно). Нумеровать вектора будем внутри столбца жордановой лестницы снизу вверх, а сами столбцы в произвольном порядке. Полученный базис будем называть (жордановым) каноническим базисом корневого подпространства.

Матрица оператора на корневом подпр-ве в каноническом базисе представляет собой жорданову клетку (для одного столбца)

[Jq(lj)]

[ O ]

Рассмотрев все столбцы жордановой лестницы получим матрицу Aj в каноническом базисе, всего клеток – сколько собственных векторов.

|Jq1(lj) O|

| Jq2(lj) |

Aj = |……………………………….|

|O Jqsj(lj)|

Докажем единственность (в плоть до порядка) разложения. Пусть оператор A|Klj имеет квазидиагональную форму в другом базисе. Перенумеруем базис в порядке убывания размеров жордановых клеток. Рассмотрим новую лестницу Жордана. Оболочка натянутая на нижние векторы в новой лестнице – собственное подпространство, те N1. Аналогично рассматриваем оболочки более высоких порядков. Получаем, что лестница не зависит от базиса. Жордановой матрицей называется квазидиагональная матрица с клетками Жордана на диагонали. Жордановым базисом называется базис пространства, в котором матрица оператора принимает жорданову нормальную форму.

Т Пусть (1) A L(V, V) линейный оператор, действующий в комплексном пространстве, и его характеристический многочлен имеет вид f(l) = (l1 – l)^m1…(lp – l)^mp, тогда в пространстве существует базис, в котором матрица оператора имеет квазидиагональную форму, и на диагонали стоят выражения типа Aj (по теореме о сумме корневых подпространств и о квазидиагональном виде).

Замечание: Жорданова форма обычно определена однозначно, вплоть до порядка следования клеток Жордана.

Замечание: Для операторов простой структуры и только для них Жорданова форма совпадает с диагональной.

Билет 28. Критерий подобия матриц.

Любая квадратная комплексная матрица подобна матрице, имеющей жорданову форму. Жорданова матрица, подобная матрице оператора, называется жордановой нормальной формой матрицы оператора.

Т Две матрицы в комплексном пространстве подобны тогда и только тогда, когда их жордановы формы совпадают. ((X^-1)AX = J, X – невырожденная матрица перехода к жорданову базису).

Билет 29. Теорема Гамильтона-Кэли. Минимальный многочлен.

Т (Г-К) Линейный оператор, действующий в комплексном (вещественном) пространстве, является корнем своего характеристического многочлена (док-во 1) докажем для комплексного пространства: любой вектор имеет разложение по корневым подпространствам, умножим обе части на многочлен от оператора и получим в правой части 0 (скобки перестнаовочны, корневой вектор будет принадлежать ядру), значит для любого вектора многочлен от оператора помножить на вектор равно 0, 2) для вещественного рассмотрим комплексное пр-во той же размерности, тогда матрица оператора в исходном базисе совпадает с матрицей второго оператора в комплексном пространстве, а характеристические многочлены совпадают).

Пусть есть оператор действующий в пространстве над полем, любой многочлен над этим полем, такой что его значение от оператора равно 0 называется аннулирующим многочленом. Многочлен наименьший степени со старшим коэффициентом 1 называется минимальным многочленом.

Т Минимальный многочлен является делителем аннулирующего многочлена (делим с остатком, остаток не может быть не равен 0, тк его степень меньше степени минимального, а значение от оператора 0).