2.1. Эмпирическая функция распределения

Методы обработки ЭД опираются на базовые понятия теории вероятностей и математической статистики. К их числу относятся понятия генеральной совокупности, выборки, эмпирической функции распределения.

Под генеральной совокупностью понимают все возможные значения параметра, которые могут быть зарегистрированы в ходе неограниченного по времени наблюдения за объектом. Такая совокупность состоит из бесконечного множества элементов. В результате наблюдения за объектом формируется ограниченная по объему совокупность значений параметра x₁, x₂, …, x_n. С формальной точки зрения такие данные представляют собой выборку из генеральной совокупности. Наблюдаемые значения x_i называют вариантами, а их количество – объемом выборки n. Для того чтобы по результатам наблюдения можно было делать какие-либо выводы, выборка должна быть репрезентативной (представительной), т. е. правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование выполняется, если объем выборки достаточно велик, а каждый элемент генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность попасть в выборку.

Пусть в полученной выборке значение x₁ параметра наблюдалось n₁ раз, значение x₂ – n₂ раз, значение  x_k – n_k раз, n₁ + n₂ + … + n_k= n. Совокупность значений, записанных в порядке их возрастания, называют вариационным рядом, величины n_i – частотами, а их отношения к объему выборки n_i = n_i / n – относительными частотами (частостями). Очевидно, что сумма относительных частот равна единице. Другой формой вариационного ряда является ряд накопленных частот, называемый кумулятивным рядом.

Под распределением понимают соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или частостями. Пусть n_x – количество наблюдений, при которых случайные значения параметра Х меньше x. Частость события X<x равна n_x / n. Это отношение является функцией от x и от объема выборки: F_n(x)= nx / n. Величина F_n(x) обладает всеми свойствами функции распределения:

• F_n(x) – неубывающая функция, ее значения принадлежат отрезку [0 – 1];

• если x₁ – наименьшее значение параметра, а x_k – наибольшее, то F_п(x)=0, когда x<=x₁, и F_п(x)=1, когда x>x_k .

Функция F_п(x) определяется по ЭД, поэтому ее называют эмпирической функцией распределения. В отличие от эмпирической функции F_n(x) функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения, она характеризует не частость, а вероятность события X<x. Из теоремы Бернулли вытекает, что частость F_n(x) стремится по вероятности к вероятности F(x) при неограниченном увеличении n. Следовательно, при большом объеме наблюдений теоретическую функцию распределения F(x) можно заменить эмпирической функцией F_n(x).

Основные свойства функции F_n ( x).

1. 0 £ F_n(x) £ 1.

2. F_n (x) - неубывающая ступенчатая функция.

3. F_n(x) = 0,x£x₁.

4. F_n(x) = 1,x>x_n .

Пример 2.1 Задана выборка случайной величины X: {4 3 3 5 2 4 3 4 4 5}. Построить график эмпирической функции распределения F_n(x).

Решение. Вариационный ряд случайной величины имеет вид {2 3 3 3 4 4 4 4 5 5}. Затем выделяем полуинтервалы (-¥,2], (2,3], (3,4], (4,5], (5,+¥]. На полуинтервале (-¥,2] F_n(x)=0/10=0. При 2<x£3 F_n(x)=1/10=0,1.

Аналогично определяем значения F_n(x) на остальных полуинтервалах:

.

График функции F_n(x)приведен на рис. 2.1.

Замечание. В каждой точке оси x, соответствующим значениям x_i функция F_n(x) имеет скачок. В точке разрыва F_n(x) непрерывна слева и принимает значение, выделенное знаком .