3.3.1. Критерий хи-квадрат к. Пирсона

Использование этого критерия основано на применении такой меры (статистики) расхождения между теоретическим F(x) и эмпирическим распределением F*_п(x), которая приближенно подчиняется закону распределения χ ². Гипотеза Н₀ о согласованности распределений проверяется путем анализа распределения этой статистики. Применение критерия требует построения статистического ряда.

Итак, пусть выборка представлена статистическим рядом с количеством разрядов M. Наблюдаемая частота попаданий в i-й разряд n_i. В соответствии с теоретическим законом распределения ожидаемая частота попаданий в i-й разряд составляет F_i. Разность между наблюдаемой и ожидаемой частотой составит величину (n_i – F_i). Для нахождения общей степени расхождения между F(x) и F*_п(x) необходимо подсчитать взвешенную сумму квадратов разностей по всем разрядам статистического ряда

(3.7)

Величина χ ² при неограниченном увеличении n имеет χ²-распределение (асимптотически распределена как χ²). Это распределение зависит от числа степеней свободы k, т.е. количества независимых значений слагаемых в выражении (3.7). Число степеней свободы равно числу y минус число линейных связей, наложенных на выборку. Одна связь существует в силу того, что любая частота может быть вычислена по совокупности частот в оставшихся M–1 разрядах. Кроме того, если параметры распределения неизвестны заранее, то имеется еще одно ограничение, обусловленное подгонкой распределения к выборке. Если по выборке определяются S параметров распределения, то число степеней свободы составит k=M –S–1.

Область принятия гипотезы Н₀ определяется условием χ ²< χ²(k;a), где χ²(k;a) – критическая точка  χ2-распределения с уровнем значимости a. Вероятность ошибки первого рода равна a, вероятность ошибки второго рода четко определить нельзя, потому что существует бесконечно большое множество различных способов несовпадения распределений. Мощность критерия зависит от количества разрядов и объема выборки. Критерий рекомендуется применять при n>200, допускается применение при n>40, именно при таких условиях критерий состоятелен (как правило, отвергает неверную нулевую гипотезу).

Алгоритм проверки по критерию

1. Построить гистограмму равновероятностным способом.

2. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу

H₀ : f(x) = f₀(x),

H₁ : f(x) ¹ f₀(x),

где f₀(x) - плотность вероятности гипотетического закона распределения (например, равномерного, экспоненциального, нормального).

Замечание. Гипотезу об экспоненциальном законе распределения можно выдвигать в том случае, если все числа в выборке положительные.

3. Вычислить значение критерия по формуле

,

где частота попадания вi-тый интервал;

p_i - теоретическая вероятность попадания случайной величины вi- тый интервал при условии, что гипотезаH₀верна.

Формулы для расчета p_i в случае экспоненциального, равномерного и нормального законов соответственно равны.

Экспоненциальный закон

. (3.8)

При этом A₁ = 0, B_m = +¥.

Равномерный закон

. (3.9)

Нормальный закон

. (3.10)

При этом A₁ = -¥, B_M = +¥.

Замечания. После вычисления всех вероятностей p_i проверить, выполня­ется ли контрольное соотношение

Функция Ф(х)- нечетная. Ф(+¥) = 1.

4. Из таблицы " Хи-квадрат" Приложения выбирается значение , гдеa - заданный уровень значимости (a = 0,05 или a = 0,01), а k- число степеней свободы, определяемое по формуле

k = M - 1 - S.

Здесь S - число параметров, от которых зависит выбранный гипотезой H₀ закон распределения. Значения S для равномерного закона равно 2, для экспоненциального - 1, для нормального - 2.

5. Если , то гипотезаH₀ отклоняется. В противном случае нет оснований ее отклонить: с вероятностью 1 - b она верна, а с вероятностью - b неверна, но величина b неизвестна.

Пример3.1. С помощью критерия c² выдвинуть и проверить гипотезу о законе распределения случайной величины X, вариационный ряд, интерваль­ные таблицы и гистограммы распределения которой приведены в примере 1.2. Уровень значимости a равен 0,05.

Решение. По виду гистограмм выдви­гаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону:

H₀ : f(x) = N(m, s);

H₁ : f(x) ¹ N(m, s).

Значение критерия вычисляем по формуле :

(3.11)

Как отмечалось выше, при проверке гипотезы предпочтительнее использовать равновероятностную гистограмму. В этом случае

Теоретические вероятности p_i рассчитываем по формуле (3.10). При этом полагаем, что

p₁ = 0,5(Ф((-4,5245+1,7)/1,98)-Ф((-¥+1,7)/1,98)) = 0,5(Ф(-1,427)-Ф(-¥)) =

= 0,5(-0,845+1) = 0,078.

p₂ = 0,5(Ф((-3,8865+1,7)/1,98)-Ф((-4,5245+1,7)/1,98)) =

= 0,5(Ф(-1,104)+0,845) = 0,5(-0,729+0,845) = 0,058.

p₃ = 0,094; p₄ = 0,135; p₅ = 0,118; p₆ = 0,097; p₇ = 0,073; p₈ = 0,059; p₉ = 0,174;

p₁₀ = 0,5(Ф((+¥+1,7)/1,98)-Ф((0,6932+1,7)/1,98)) = 0,114.

После этого проверяем выполнение контрольного соотношения

Тогда

= 100 × (0,0062 + 0,0304 + 0,0004 + 0,0091 + 0,0028 + 0,0001 + 0,0100 +

+ 0,0285 + 0,0315 + 0,0017 ) = 100 × 0,1207 = 12,07.

После этого из таблицы "Хи - квадрат" выбираем критическое значение

.

Так как то гипотезаH₀ принимается (нет основания ее отклонить).