Лекции_2

1.2. Неравенства чебышева

Теорема. Для любой случайной величины X с m_x, D_x выполняется следующее неравенство где >0.

Доказательство:

1. Пусть величина Х – ДСВ. Изобразим значения Х и М_х в виде точек на числовой оси Ох

0 х₁А М_х В

Вычислим вероятность того, что при некотором величина Х отклонится от своего МО не меньше чем наε:

Это событие заключается в том, что точка Х не попадет на отрезок [m_x-ε, m_x+ε], т.е.

для тех значений x, которые лежат вне отрезка [m_x-ε, m_x+ε].

Рассмотрим дисперсию с.в. Х:

Т.к. все слагаемые – положительные числа, то если убрать слагаемые, соответствующую отрезку [m_x-ε, m_x+ε], то можно записать:

т.к. , то неравенство можно усилить

 

2. Для НСВ:

- это интегрирование по внешней части отрезка [m_x-ε, m_x+ε].

Применяя неравенство и подставляя его под знак интеграла, получаем

Откуда и вытекает неравенство Чебышева для НСВ.

Следствие. -это 2-е неравенство Чебышева.

Доказательство:Событияи- противоположны.

Лемма: Пусть Х –СВ, 0 – любое число. Тогда

Доказательство:

Т.к..

Следствие..

Д-во: Полагаем, вместо св Х – св Х-М(Х), т.к. М( Х-М(Х))²⁼D(X) и получаем неp-во.

Следствие: (правило трех сигм для произвольного распределения):

Полагаем в неравенстве Чебышева , имеем

Т.е. вероятность того, что отклонение св от ее МО выйдет за пределы трех СКО, не больше 1/9.

Неравенство Чебышева дает только верхнюю границ вероятности данного отклонения. Выше этой границы - значение не может быть ни при никаком распределении.

Содержание