2.2. Вычисление обратной матрицы

Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции Вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже, если с математикой туго.

Что такое обратная матрица? …Если интересно, посмотрите в энциклопедии, суть не в определении. А суть чаще всего в том, что вот оно, злосчастное задание, где нужно найти обратную матрицу. И это задание нужно решить либо разобраться, как оно решается.

Прежде чем приступить к рассмотрению примеров на нахождение обратной матрицы, рассмотрим один важный вопрос. Что необходимо знать и уметь для успешного изучения данного материала? Ответ. Вы должны уметь решать определители. Как вычислить определитель смотрите в соответствующей статье. Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с матрицами.

Есть? Тогда поехали дальше. А хотя… ехать могут все, если Вы что-то не знаете, я буду давать нужную ссылку по ходу объяснений.

Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу  . Обратную матрицу   можно найти по следующей формуле:

, где   – определитель матрицы  ,   – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: Как Вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом 

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы 

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

Если с пониманием сего действа плоховато,  ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель.  Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

В рассматриваемом примере, как выяснилось,  , а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров 

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель.

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица  , то есть в данном случае  .  Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице  Сначала рассмотрим левый верхний элемент Как найти его минор? А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров: Рассматриваем следующий элемент матрицы  : Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент: То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу: Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры: Готово.

 – матрица миноров соответствующих элементов матрицы  .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений 

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел: Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

 – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

И всего-то лишь…

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений  .

Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Действия с матрицами.

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

5) Ответ.

Вспоминаем нашу формулу  Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статьеДействия с матрицами.

Как проверить решение? Необходимо выполнить матричное умножение   либо 

Проверка: 

Получена так называемая единичная матрица (с единицами по главной диагонали и нулями в остальных местах).

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три».

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы 

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле:  , где   – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

1) Находим определитель матрицы.

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Также не забываем, что  , а значит, всё нормально – обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров 

Матрица миноров имеет размерность «три на три»  , и нам нужно найти девять чисел.

Я подробно рассмотрю парочку миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два» Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить: Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

Как Вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках: Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

Окончательный результат:  – матрица миноров соответствующих элементов матрицы  .

То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений 

В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов: В данном случае:  – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений  .

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

5) Ответ:

Проверка: 

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Как оформить решение на чистовик? Примерный образец чистового оформления задания можно найти на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы в параграфе, где идет речь о матричном методе решения системы линейных уравнений. По существу, основная часть упомянутой задачи – и есть нахождение обратной матрицы.

Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил 1 определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).

В ряде учебников, методических указаниях можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, но я Вам рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.