Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
В ходе решения систем линейных уравнений нужно стараться использовать не «школьный метод», а метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы. Почему? Это экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее.
Пример 4
Решить систему линейных уравнений:
Я взял ту же систему, что и первом примере. Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:
Действия, обведенные красным цветом, выполняются МЫСЛЕННО. Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная . В этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных.
Теперь всё просто: – подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе, но это не так выгодно – там числа больше):
В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так:
Ответ:
У некоторых явно возник вопрос: «Зачем все эти изыски, если можно просто выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение?».
Пример 5
Решить систему линейных уравнений: В данном примере можно использовать «школьный» метод, но большой минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. А возня с дробями займет время, к тому же, если у Вас не «набита рука» на действиях с дробями, то велика вероятность допустить ошибку.
Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных:
Как видим числа в парах (3 и 4), (4 и –3) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Таким образом, хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 20 и 20 либо 20 и –20.
Будем рассматривать коэффициенты при переменной :
Подбираем такое число, которое делилось бы и на 3 и на 4, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, то можно просто перемножить коэффициенты:
Далее: Первое уравнение умножаем на Второе уравнение умножаем на
В результате:
Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе. На всякий случай привожу еще раз действия, которые проводятся мысленно: Следует отметить, что можно было бы наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет.
Теперь подставляем найденное значение в какое-нибудь из уравнений системы, например, в первое:
Ответ:
Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной
Очевидно, что вместо пары коэффициентов (4 и –3) нам нужно получить 12 и –12. Для этого первое уравнение умножаем на 3, второе уравнение умножаем на 4:
Почленно складываем уравнения и находим значения переменных:
Ответ:
Второй способ несколько рациональнее, чем первый, так как складывать проще и приятнее чем вычитать.
В высшей математике всегда стремимся складывать и умножать, а не вычитать и делить.
Пример 6
Решить систему линейных уравнений:
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Продолжение урока на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы >>>
- Оглавление
- Вводная часть
- 1.2. Алгебра высказываний. Основные законы математической логики.
- Операция отрицания, или отрицание высказывания
- Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний.
- Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний.
- Операция эквивалентности, или эквивалентность высказываний.
- Операция импликации, или импликация высказываний.
- Порядок старшинства операций
- 5. Основные законы математической логики.
- 6. Парадоксы логики (семантические парадоксы), или «правдоподобные» рассуждения, приводящие к противоречивым результатам.
- 7. Основная цель математической логики – обеспечить систему формальных обозначений для рассуждений, встречающихся не только в математике, но и в повседневной жизни.
- 1.3. Числа
- 2. Матрицы. Действия с матрицами
- 2.1. Вычисление определителей
- 2.2. Вычисление обратной матрицы
- 2.3. Решение системы линейных уравнений
- Решение системы линейных уравнений методом подстановки
- Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
- Решение системы по правилу Крамера
- Решение системы с помощью обратной матрицы
- Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных)
- Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения
- 3. Комплексные числа
- Понятие комплексного числа
- Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
- Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
- Возведение комплексных чисел в степень
- Извлечение корней из комплексных чисел
- 4. Математические формулы и графики
- Для того чтобы успешно решать задачи по высшей математике необходимо:
- Математические формулы и таблицы
- Графики и основные свойства элементарных функций
- Как правильно построить координатные оси?
- Графики и основные свойства элементарных функций График линейной функции
- График квадратичной, кубической функции, график многочлена
- Кубическая парабола
- График функции
- График гиперболы
- График показательной функции
- График логарифмической функции
- Графики тригонометрических функций
- Графики обратных тригонометрических функций