Matematika_ispravlenaya

Интегрирование простейших иррациональных алгебраических функций.

При интегрировании иррациональных функций используются различные приемы. Мы рассмотрим метод рационализации подынтегрального выражения. Он заключается в выборе такой подстановки , которая данное подынтегральное выражение преобразует в рациональное относительно новой переменной . Поскольку рациональные функции мы умеем интегрировать, такие подстановки позволяют интегрировать и иррациональные функции.

Пусть — рациональная функция от и , т. е. функция, получаемая из и чисел с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления).

Если заменить в переменную выражением , то получим функцию от одной переменной . Интеграл от нее имеет вид:

Этот интеграл рационализируется с помощью подстановки

В самом деле, так как подкоренное выражение представляет собой дробно-линейную относительно функцию, то переменная рационально выражается через переменную

Тогда — рациональная функция. Заменяя теперь переменную в данном интеграле, получим интеграл от рациональной функции новой переменной

Если под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же дробно-линейным относительно х подкоренным выражением, то сначала следует привести их к одному показателю, после чего использовать указанный прием.

Содержание