Билет 25. Сдвиг оператора, нильпотентность и обратимость его суждений.

Линейный оператор называется нильпотентным, если существует его степень, равная нулевой матрице. Наименьшая такая степень называется индексом нильпотентности (высотой) линейного оператора.

Т Если A – нильпотентный оператор степени (1) и (2) – вектор, который оператор предпоследней степени не переводит в 0, то векторы x0, Ax0,…, (A^(q-1))x0- линейно независимы (приравняем линейную комбинацию к нулю и последовательно будем применять операторы в нужной степени, показывая равенство 0 коэффициентов).

Следствие 1: индекс нильпотентности не превосходит размерности пр-ва.

Т В комплексном пр-ве линейный оператор нильпотентен тогда и только тогда, когда все его собственные значения равны 0 (необходимрость A^qx0 = (l0^q)x, достаточность – проверить умножение матриц).

Если все пространство – прямая сумма подпространств, инвариантных относительно A, то оператор называется прямой суммой индуцированных операторов.

Рассмотрим оператор B= A – liI, выполним сдвиг на li оператора A.

1. lb = la – li

2. f(l) = (l1 – l)^m1…(lp – l)^mp- многочлен A, f’(l) = (l1 – lj – l)^m1 * …(lp – lj – l)^mp

3. Подпространство инвариантное относительно B, инвариантно относительно A