16) Определение комплексного корня n-й степени из комплексного числа

Определение. Пусть   – произвольное натуральное число. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число   , такое, что   .

Извлечение корня из комплексного числа

Таким образом, равенство:

равносильно равенству

rⁿ(cos ny + i sin ny) = r (cos j + i sin j)

  Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны, и аргументы могут отличаться лишь кратным 2p, т.е.

rⁿ = r,     ny = j + 2kp,

откуда

где    есть арифметическое значение корня и k - любое целое число. Таким образом мы получаем:

(16)

т.е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.   В формуле (16) число k может принимать всевозможные целые значения; однако можно показать, что различных значений корня будет только n, и они будут соответствовать значениям:

k = 0, 1, 2, ..., (n-1)

(17)

  Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (16) будут различными при двух различных значениях k = k₁ и k = k₂ тогда, когда аргументы    и   отличаются не кратным2p, и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным 2p.   Но разность (k₁ - k₂) двух чисел из ряда (17) по абсолютному значению меньше n, а потому разность

не может быть кратна 2p, т.е. n значениям k из ряда (17) соответствуют n различных значений корня.   Пусть теперь k₂ - целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его в виде:

k₂ = qn + k₁

где q - целое число и k₁ - любое число из ряда (17), а потому

 ,

т.е. значению k₂ соответствует то же значение корня, что и значению k₁, заключающемуся в ряде (17). Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.   Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т.е. r = 0. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю. 

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Корни пятой степени из единицы(вершины пятиугольника)

Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

zn = [r(cos φ + isin φ)]n = rn(cos nφ + isin nφ),

где r — модуль, а    — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

z1 / n = [r(cos(φ + 2πk) + isin(φ + 2πk))]1 / n =

Отметим, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса    с центром в начале координат (см. Рисунок).