logo
математика

21.Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.

Если многочлен   с целыми коэффициентами имеет рациональный корень   то число p является делителем числа   (свободного члена), а число q является делителем числа   (старшего коэффициента).

Доказательство :  

Действительно, если число   является корнем многочлена   то   а именно:   Умножим обе части этого уравнения на   получим:   Так как   − целые числа, то в скобке стоит целое число. Значит, вся правая часть этого равенства делится на q , так как q входит в неё в качестве сомножителя. А значит и левая часть тождества делится на q , так как она равна правой. Число p не делится на q , так как иначе дробь   была бы сократимой, значит и   не делится на q . Следовательно, на q делится единственный из оставшихся сомножителей левой части, а именно   Аналогично доказывается, что   делится на p . Теорема доказана.

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4