logo
математика

26.Определение скалярного произведения двух векторов и его свойства.

Пусть даны два вектора   и  , угол между, которыми равен  .

Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается  . Итак,  .

Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определения считается равным нулю.

Рассмотрим свойства скалярного произведения.

  1. Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов   и    .

Очевидно, из определения скалярного произведения:

.

  1. Для любого числа λ и любых векторов   имеем:

.

Доказательство. Ограничимся случаем, когда λ > 0. В этом случае угол между векторами   и   совпадает с углом между векторами   и  ,  .

Поэтому  . Откуда 

Аналогично доказывается и равенство  .

Случай λ <0 рассмотреть самостоятельно.

  1. Для любых векторов   выполняется равенство  .

Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций вектора на ось, будем иметь

  1. Для любого вектора   выполняется соотношение .

Действительно, так как  , то  .

Из этого свойства в частности следует  .

  1. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны.

Это свойство очевидно из определения скалярного произведения.

Таким образом, необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат этих векторов. A*B=x1*x2+y1*y2+z1*z2

Скалярное произведение двух векторов   и   заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле 

Если векторы a и b ненулевые, то косинус угла между этими векторами равен

Пользуясь формулой скалярного произведения, мы можем выразить косинус угла между векторами: 

В координатной записи эта формула будет выглядеть так: 

Признак перпендикулярности ненулевых векторов - Если два вектора перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю. Поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю. Из этого рассуждения мы получаем следующий признак: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.