8.1. Оптимальное значение итерационного параметра. Метод минимальных невязок.

Вычисление оптимального значения итерационного параметра при решении систем линейных алгебраических уравнений требует знания спектра матрицы системы. Определение границ спектра матрицы – непростая задача. Рассмотрим один способ оптимизации итерационного параметра, для которого не требуется симметричность матрицы системы и знание границ её спектра.

Для решения системы ЛАУ с положительно определенной матрицей используем итерационный метод (1)

В отличие от метода простой итерации в итерационном процессе (1) используется переменный итерационный параметр. Определим, каким должно быть значение итерационного параметра , чтобы норма погрешности для очередного итерационного приближения имела минимальное значение ()

Для погрешности итерационного метода (1) имеем (2)

Умножим скалярно уравнение (2) само на себя, предварительно умножив его слева на матрицу :

.

Условие минимума нормы погрешности определим из равенства нулю ее производной:

.

Из последнего равенства имеем .

Учитывая, что , получаем выражение для оптимального значения итерационного параметра , (3)

Таким образом, мы приходим к итерационному методу с оптимальным выбором итерационного параметра, обеспечивающего на каждой итерации минимальное значение нормы погрешности : (4)

Итерационный метод (4) называется метод минимальных невязок, поскольку и каждая итерация (4) соответствует нахождению следующего приближения, минимизирующего норму невязки .

Задача выбора оптимального набора итерационных параметров, обеспечивающих минимизацию погрешности решения после итераций, позволяет добиться лучших результатов в ускорении сходимости, нежели рассмотренная выше оптимизация итерационного параметра на каждом итерационном шаге в отдельности.