О математических определениях в средней школе1

Вопрос о характере, задачах и особенностях определения понятий в школьном курсе математики на каждом шагу встает по различным конкретным поводам в письмах и выступлениях учителей и нередко дебатируется в нашей методической печати. Это понятно и естественно: с одной стороны, каждый учитель по опыту знает, какое значение для выработки правильных научных установок имеет целесообразно построенное определение; с другой стороны, одно и то же понятие сплошь и рядом совершенно различно определяется в различных учебных и методических руководствах. Легко понять, что вопрос о том, какое из предлагаемых определений является наиболее обоснованным научно и наиболее эффективным методически, волнует учителя, будит его научную и педагогическую мысль, заставляет обращаться за разъяснениями, а часто и побуждает к высказыванию (иногда даже к настойчивой пропаганде) своей собственной точки зрения.

Совершенно ясно, что все возникающие по отдельным конкретным поводам вопросы и дискуссии, связанные с определением математических понятий в школьном преподавании, могут получить успешное разрешение только при том условии, что от беспочвенных споров по поводу  {85}  определения тех или иных отдельных понятий мы перейдем к общей постановке этой большой научно-методической задачи и выработаем основные принципы построения математических определений в школе. Пока этого не сделано, любая дискуссия по поводу какого угодно отдельного понятия останется беспочвенной; можно ли, в самом деле, выбрать наиболее целесообразное определение того или другого понятия, если мы не знаем, если мы не договорились о том, какие черты, свойства и особенности выбираемого определения должны заставить нас предпочесть его другим? Не будет ли это похоже на то, как если бы двое судей стали спорить о выборе правильного решения по возникшему конкретному делу, не зная законов своей страны?

Уже беглое знакомство с характером запросов и высказываний учительства по поводу отдельных математических определений с исчерпывающей убедительностью показывает, что по основным возникающим здесь принципиальным вопросам мы имеем такой разнобой мнений и точек зрения, при котором нет ни малейшей возможности договориться по какому-либо конкретному вопросу, ибо всякая дискуссия останется бесплодной до тех пор, покуда спорящие исходят из различных основных принципов. Если один для эффективности определения считает решающим моментом его соответствие с современными научными воззрениями, другой — близость к практике, третий — наглядность, четвертый — широту, пятый — сходство с определениями аналогичных понятий и т. д., то, конечно, в вопросе о выборе наиболее целесообразного определения никакого единодушия ожидать нельзя.

Но изучение высказываний учительства приводит и к таким заключениям, которые ведут еще дальше. Оно со всей определенностью показывает, что вопрос о самой сущности определения, о том, что значит определить понятие, не имеет еще полной ясности. Здесь господствуют разнообразные смешения: полноценное научное определение очень часто подменяется ни к чему не обязывающим описанием или даже просто указанием на роль и значение «определяемого» понятия в той или другой практической деятельности («число есть результат счета или измерения»). Очень часто бывает, что из двух конкурирующих «определений» одно действительно определяет  {86}  понятие, в то время как другое даже не претендует на такую роль, являясь лишь скромным поясняющим описанием; ясно, что два таких «определения» никак не могут вступить в конкуренцию, ибо задачи, которые они себе ставят, совершенно различны, а между тем как часто у нас ломаются копья именно в подобных случаях, чтобы доказать предпочтительность одного из таких «определений» перед другим!

Совершенно ясно, что прежде чем выбрать наиболее эффективную систему определений, прежде даже чем устанавливать общие принципы такого выбора, необходимо с полной отчетливостью договориться о том, что такое математическое определение. Необходимо установить абсолютно точные признаки, позволяющие отличить определение от более или менее полного описания, с возможной ясностью исследовать роль определений и описаний в школьном преподавании и выяснить, какие методические последствия должно повлечь за собою логическое различие между понятиями действительно определяемыми и понятиями, при введении которых мы ограничиваемся описанием.

Именно этим предварительным целям посвящено настоящее небольшое исследование.