Основные понятия математики в средней школе1

Идейный уровень преподавания математики в средней школе заметно отстает от ее научного развития. Ни в одной другой школьной дисциплине мы не имеем, такого положения вещей, когда весь излагаемый материал, за единичными исключениями, слагается из фактов, известных уже в XVII столетии. Только одна глава алгебры — учение об иррациональных числах — принадлежит к созданиям XIX столетия.

Если архаичность программного материала может отчасти найти себе объяснение в том, что высшая школа в области математики (в отличие от физики, химии и биологии) непосредственно ведет учащихся дальше, не, возвращаясь к элементарным научным фактам, то никак нельзя объяснить и оправдать того общеизвестного явления, что даже самые основные понятия, формулировки и методы рассуждения в школьном преподавании в силу вековой традиции часто излагаются в несоответствии с  {28}  их пониманием и трактовкой в современной науке. Ссылка на якобы достигаемое этим облегчение усвоения соответствующих фактов совершенно несостоятельна; в подавляющем большинстве случаев научная концепция тех понятий, о которых здесь идет речь, элементарней и проще и, во всех случаях, отчетливей той, которая по традиции культивируется учебниками; приведенная ссылка почти всегда имеет целью маскировку косности и рутины методической среды; мы часто на все предложения обновления слышим только, что «по старинке будет легче»; ни в одном случае мне не удалось добиться, почему по старинке будет легче; и во всех случаях я приходил к убеждению, что легче будет учителю, вызубрившему учебник и не желающему переучиваться, а никак не ученику; во всех случаях это было равнением методиста на отсталые слои учительства, в то время как передовые учителя заинтересовывались новшеством, охотно продумывали и часто принимали его.

Два принципа мне хотелось бы положить в основу решения вопроса о том, в какой мере то или другое понятие математики может, быть, с учетом развития учащихся, изучаемо в школьном курсе в соответствии с его трактовкой в современной науке; вот эти принципы:

1. В случаях, когда возрастные условия не позволяют дать такую трактовку понятия, какая принята современной наукой, концепция этого понятия в школьном курсе может быть упрощена; это означает, что школа не обязана доводить развитие каждого понятия до его состояния в современной науке, но может остановиться и на предшествующей стадии развития этого понятия. Но ни в одном случае школа не должна в целях упрощения искажать научную трактовку понятия, придавать ему черты, противоречащие научному его пониманию — черты, которые в последующем пришлось бы искоренять; другими словами, ни в одном случае школа не должна развивать понятия в направлении, отклоняющемся от пути его научного развития.

2. Замена отчетливых и точных определений, формулировок и рассуждений расплывчатыми, не имеющими точного смысла и при последовательном использовании неизбежно приводящими к логическим неувязкам ни в коем случае не может способствовать облегчению понимания, а, напротив, во всех случаях затрудняет его; мыслить  {29}  расплывчато не может быть делом более легким, чем мыслить четко.

Наконец, мы полагаем, что обычное построение школьного курса изобилует такими понятиями, которых не знает математическая наука или которые она давно отвергла. В подавляющем большинстве случаев введение этих, изобретенных специально для школы и неупотребительных в науке понятий не имеет за собой ничего, кроме слепой традиции; вызываемое ими ненужное обременение курса методически ничем не оправдано и приносит только вред.

Вот те исходные принципы, с точки зрения которых написана эта книга, может быть несколько необычная по содержанию: читатель не найдет в ней ни более или менее популярного изложения современных научных концепций, рассчитанного на повышение его квалификации, ни методических разработок в общепринятом смысле этого слова; и тем не менее мне хотелось бы высказать надежду, что учитель встретит при чтении ее как моменты, расширяющие его научный кругозор, так и некоторую методическую помощь. Скромная задача этой книги — разобраться для нескольких важнейших математических понятий в вопросе о том, в какой мере и какими путями изучение их в средней школе может быть приведено в соответствие с их трактовкой, принятой в современной науке.