Концепция предела в школе1

При выборе формы понятия предела, наиболее эффективной для школьного преподавания, мы должны, как всегда, считаться с двумя основными требованиями: 1) форма эта ни в чем не должна стоять в противоречии с традициями современной науки; 2) она должна быть достаточно конкретной, чтобы вводимое понятие в сознании школьника не отрывалось от тех явлений действительного мира, формальным выражением которых оно призвано служить.  {59} 

Предшествующий исторический очерк ясно показывает нам, что применительно к понятию предела эта двойная (в иных случаях весьма нелегкая) задача легко разрешима. Прежде всего следует признать совершенно неприемлемой первичную форму концепции предела, охарактеризованную нами при описании первого этапа: она стоит в противоречии с обоими основными требованиями; с одной стороны, она решительно преодолена и отвергнута современной наукой как логически несовершенная; с другой стороны, динамичность предельного перехода в ней по меньшей мере отодвинута на задний план, и тем самым связь с реальными явлениями завуалирована и логически неотчетлива. Если школьник выходит из школы с представлением о бесконечно малой величине как о чем-то ничтожно малом, недостойном внимания, или еще хуже — как о каком-то диковинном числе, которое меньше любого положительного числа и в то же время все-таки не нуль, то задача высшей школы будет весьма усложнена; прежде чем дать такому ученику дальнейшее развитие, она должна будет заняться выветриванием из его сознания представлений и навыков, противоречащих современным научным концепциям.

Вряд ли может встретить возражение тот взгляд, что расширения понятия предела, указанные нами при описании четвертого этапа, не могут быть предметом школьного преподавания; слишком общее понимание предельного перехода, во-первых, не найдет себе в школьном курсе никаких применений, а во-вторых, несомненно, являет собой такую ступень абстракции, которая недоступна сознанию школьника.

Многие педагоги высказываются за то, чтобы, понимая под пределом исключительно предел переменного вещественного числа, в этих рамках доводить школьные формулировки полностью до их современно-научного текста. Это означает, что понятие предела должно быть дано в форме соответствия областей ε и δ. Мы решительно должны признать эту форму нецелесообразной. Даже с точки зрения чисто формального усвоения такое определение, как показал многолетний опыт, вызывает очень значительные, часто непреодолимые затруднения, и не только у школьников, но и у студентов первых курсов; но если даже допустить, что в отдельных случаях опытному педагогу при значительной затрате времени и сил  {60}  удастся заставить своих учеников справиться с заложенными в этом определении формальными трудностями, то уже во всяком случае связать эту формальную схему с реальным предельным переходом в явлениях действительности — дело совершенно непосильное сознанию школьника; таким образом, понятие предела в этой его формулировке в лучшем случае будет абстрактно усвоено ценою радикального отрыва от связанных с этим понятием реальных представлений. С другой стороны, в таком определении нет по существу и никакой надобности. Если под словами «переменная величина х в данном процессе имеет своим пределом постоянную величину а» (запись: lim x = a, или х → а) ученик привыкнет понимать тот факт, что разность х – а, начиная с некоторого момента (некоторой стадии) процесса, становится и во всех дальнейших стадиях его остается как угодно малой по абсолютному значению, то такое определение (соответствующее второму этапу нашего исторического очерка) удовлетворит всем необходимым требованиям. С одной стороны, оно ни в одном слове не противоречит современным научным данным, и высшая школа, приняв в свою среду школьника с таким представлением о пределе, без существенных затруднений сумеет уточнить и расширить в его сознании это представление; ей не придется ничего «выветривать», ничего отвергать из того, что дала ученику средняя школа. С другой стороны, именно это определение предела ближе всех других (как исторически предшествующих, так и исторически последующих) стоит к реальным явлениям, служащим естественными объектами его приложений.

Настаивая на том, что приведенная нами формула определения предела является во всех отношениях наиболее эффективной для школьного преподавания, мы, однако, вовсе не хотим этим утверждать, что многознаменательная буква ε должна быть совершенно изгнана из этого преподавания. Так, при доказательстве теорем о сумме или произведении бесконечно малых введение произвольно малой постоянной ε представляется нам вполне уместным. Именно в ходе рассуждений, приводящих к этим теоремам, учащимся будет удобно разъяснить, что запись |х – а| < ε, где ε — произвольная положительная постоянная, в точности символизирует  {61}  содержащееся в определении предела выражение «разность х – а как угодно мала по абсолютному значению». Мы допускаем даже, что при достаточном общем развитии класса эта форма в отдельных случаях уже при самом определении может быть заменена более развернутым выражением: «разность х – а по абсолютному значению (становится и остается в ходе данного процесса) меньше любого постоянного положительного числа», хотя такая форма, несомненно, вызывает больше затруднений для сознательного усвоения. Но мы считаем, что ссылка на реальный процесс и его различные стадии (моменты), содержащаяся в приводимом определении, ни в каком случае не должна заменяться (как это в порядке дальнейшей формализации делает современное научное изложение) указанием на область значений независимой переменной, определяющей собой течение процесса; по меньшей мере этого не следует делать на первой стадии изучения при общих рассуждениях (в дальнейшем при рассмотрении конкретных примеров изучение области значений этой независимой переменной может стать очень полезным, как мы увидим ниже).

Поясним нашу точку зрения примером. Пусть речь идет о том, что апофема а_n вписанного в данный круг правильного n-угольника при n → ∞ имеет своим пределом радиус круга r. Содержание этой фразы мы всего охотнее выразили бы словами «разность |r – а_n| становится и остается как угодно малой при безграничном возрастании числа n», менее желательной при первом изучении (так как труднее усвояемой), хотя все же допустимой мы считали бы формулировку «каково бы ни было постоянное положительное число ε, разность |r – а_n| становится и остается меньше ε при безграничном возрастании числа n»; наконец, совсем неприемлемой для школы представляется нам следующая формулировка, наиболее отвечающая традициям современного научного изложения: «Как бы мало ни было постоянное положительное число ε, найдется такое число N (зависящее от ε), что r – а_n меньше ε для всех n > N». Во избежание недоразумений мы должны при этом оговориться, что все сказанное здесь имеет отношение только к общему определению понятия предела, к словесной формулировке того представления, которое школьник должен приучиться связывать с термином «предел». В дальнейшем,  {62}  в порядке конкретной работы над отдельными примерами, не только желательна, но и необходима полная, доведенная до вычислительных операций расшифровка тех указаний на различные стадии процесса, которые содержатся в общем определении. Так, возвращаясь к нашему примеру, мы считаем, что среди задач на теорию пределов вполне уместно поставить перед учащимися вопрос о том, каково должно быть число n, чтобы разность |r – а_n| оказалась меньше, чем 0,01; меньше, чем 0,001 и т. д. Такого рода задачи не только укрепят связь теории с приложениями, но и подготовят базу для более легкого усвоения в будущем более формальной общей концепции предела.

Как в самом математическом анализе, так и в различных его приложениях основную роль играют две конкретные разновидности предельного перехода: 1) предел последовательности а₁, а₂, а_n, ... при n → ∞ и 2) предел функции yF(x) при условии, что х стремится к постоянному числу а. Обычно в средней школе и в общих определениях, и в подборе задач и примеров стараются охватить обе эти разновидности. Это стремление приводит к известным затруднениям, потому что две разновидности, о которых идет речь, отличаются друг от друга столь существенными моментами, что при первом знакомстве с понятием предела школьнику трудно усмотреть в них роднящие общие черты и признать их частями единого целого. Различия кроются, разумеется, в поведении независимой переменной, характеризующей собой течение процесса; в первом случае эта переменная (n) пробегает лишь целые положительные значения, во втором (х) — непрерывный ряд значений; в первом случае n безгранично возрастает, во втором х стремится к конечному пределу. В связи с этим важно отметить, что рекомендуемое нами определение понятия предела в одинаковой мере охватывает собой оба случая именно потому, что в этом определении характеристика последовательных стадий процесса остается не формализованной, в то время как указанные разновидности отличаются друг от друга как раз характером этой формализации. Всякое мыслимое в пределах средней (а также, впрочем, и первых курсов высшей) школы более формальное определение неизбежно наталкивается на новую трудность; оно требует для двух указанных разновидностей  {63}  предельного перехода двух различных определений, что, разумеется, еще более затрудняет представление об едином общем логическом и предметном основании этих двух случаев¹.