Понятие функциональной зависимости в средней школе

I

Почти все современные методисты в той или иной степени придерживаются взгляда, согласно которому понятие функциональной зависимости должно стать не только одним из важнейших понятий школьного курса математики, но и тем основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии и тригонометрии, вокруг которого группируется все математическое преподавание. Это воззрение может, конечно, повести и к злоупотреблениям: при безоглядочной его реализации есть значительная опасность недооценки других, не менее важных понятий,  {67}  представлений и методов: понятия числа, основных алгебраических операций, геометрического образа и т. д. Однако при правильном его понимании, при наличии достаточного педагогического такта и чувства меры приведенный тезис, несомненно, указывает составителю программы, автору учебника, методисту и педагогу правильный и плодотворный путь.

Почему же понятию функциональной зависимости мы стремимся придать такую исключительную роль, явно выделяющую его из всех других основных математических понятий, с которыми знакомит своих учащихся средняя школа?

Потому, во-первых, что ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и с такой конкретностью, как понятие функциональной зависимости, в которой воплощены и подвижность, и динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин.

Потому, во-вторых, что это понятие, как ни одно другое, воплощает в себя диалектические черты современного математического мышления; именно оно приучает мыслить величины в их живой изменчивости, а не в искусственно препарированной неподвижности; в их взаимной связи и обусловленности, а не в искусственном отрыве их друг от друга.

Потому, наконец, что понятие функциональной зависимости есть основное понятие всей высшей математики и что поэтому качество подготовки оканчивающих среднюю школу к усвоению курса математики в высшей школе в значительной степени измеряется тем, насколько твердо, полно и культурно они свыклись с этим важнейшим понятием.

II

В наших программах учение о функциях выделено в особую тему курса алгебры; редакция этой темы в программе такова, что имеется в виду, несомненно, лишь одна, сравнительно узкая задача: научить школьников графическому изображению функций. Так и следует понимать задачи этой темы. Но это, разумеется, никак не должно означать, что усвоение понятия функциональной зависимости и приобретение навыков функционального мышления может быть ограничено изучением этой  {63}  специальной темы. Напротив, представление о функциональной зависимости может войти в сознание учащихся как прочный, привычный и действенный элемент, как орудие математического мышления только при том условии, что к этому представлению они будут систематически приучаться на протяжении всего курса математики, от элементарной арифметики до высших разделов алгебры и тригонометрии. Это не значит, конечно, что общее определение функции следует давать в младших классах или хотя бы что самый термин «функция» должен употребляться и навязываться при каждом удобном случае. Дело совсем не в этом. Пусть учащиеся узнают слово «функция» лишь в старших классах, пусть они лишь на более зрелой ступени развития задумаются впервые над тем, какую роль в познании реального мира играет учение о взаимной зависимости величин; никаких отчетливо формулированных общих установок, и в особенности никаких абстрактных определений и никаких специальных терминов не надо на младшей и средней ступенях школьного образования. Совершенно непринужденно, исподволь, не обременяя детского создания непосильными ему абстракциями, и в то же время настойчиво, планомерно и повседневно должно вестись формирование навыков функционального мышления. Об этом учитель должен думать на каждом уроке — в любой теме арифметики, алгебры и геометрии найдется материал, направляющий внимание учащихся на ту сторону изучаемого вопроса, которую они позднее осознают как функциональную связь между величинами. Влияние изменений компонент арифметических операций на результат операции; первые буквенные формулы; первые количественные соотношения в геометрии; первое знакомство с уравнениями — все это и многое другое дает неисчерпаемый материал для простых, отнюдь не затрудняющих внимания учащихся вопросов, систематически приучающих думать о том, как меняется одна величина при изменении другой; от скольких и каких именно других величин зависит величина, определяемая данной формулой; сколько и какие именно элементы в треугольнике надо знать, чтобы однозначно определять все его элементы, и т. д. Чтобы определить площадь квадрата достаточно задать один отрезок (сторону или диагональ и т. д.); тоже для площади круга; но чтобы определить  {69}  площадь прямоугольника или треугольника, приходится задавать два отрезка. Для определения рационального числа достаточно задать конечную группу цифр, для определения же иррационального числа их приходится задать бесконечное множество. Если в конечной десятичной дроби изменить первую цифру после запятой, то величина дроби изменится заметным образом; если же как угодно изменить шестую цифру, то величина дроби почти не изменится. Если одну из сторон треугольника равномерно вращать около вершины, то точка ее пересечения с другой стороной будет перемещаться сначала сравнительно медленно, а потом — с колоссальной скоростью. При увеличении числа сторон правильного многоугольника внутренний угол его растет (сначала быстро, потом все медленнее), а внешний угол убывает. Корень уравнения ах = b, где а ≠ 0, b ≠ 0, убывает, когда а возрастает, и возрастает, когда а убывает (то и другое безгранично). Выражение n! очень быстро растет при возрастании n; n³ растет быстрее, чем n², а 2ⁿ растет еще быстрее.

Все эти и бесчисленное множество других подобных элементарных замечаний и вопросов, подкрепленных соответствующими несложными расчетами, если практиковать эти замечания и вопросы систематически, по каждому поводу, имеют целью привести к тому, чтобы в момент, когда общая идея функциональной зависимости должна будет войти в сознание учащихся, это сознание было достаточно подготовлено к предметному и действенному, а не только к формальному восприятию нового понятия и связанных с ним представлений и навыков.

Придавая большое значение вышеописанной пропедевтике учения о функциональной зависимости, мы в то же время должны, конечно, заботиться о том, чтобы те разделы школьного курса, которые дают повод для изучения специальных важнейших функций, приходились с надлежащим ударением на функциональный момент вопроса.

Совершенно недопустимо, чтобы учащиеся изучали квадратные уравнения без детального овладения поведением трехчлена второй степени как одной из важнейших и простейших функций. Здесь, как и в других случаях, у нас, часто формально понимая требования  {70}  программы, научают учащихся строить параболу по точкам и этим ограничиваются. График, который по смыслу своему есть наглядное орудие, позволяющее из геометрического образа вычитывать те или другие важнейшие черты изучаемой функциональной зависимости, — из средства превращается в самоцель, чем совершенно искажается подлинная методологическая ситуация. Между тем, если учащийся не использует образа параболы для решения вопроса о максимуме или минимуме трехчлена второй степени, для быстрого заключения о характере возрастания и убывания этой функции (о том, где она возрастает, где убывает, где возрастает быстрее и где медленнее и т. п.), о числе и расположении ее корней и т. п., то построение графика становится почти бесцельным занятием, из которого выхолощено все идейное содержание.

В еще большей степени все сказанное относится к изучению логарифмической и показательной функций. Общеизвестно, что учащиеся, безукоризненно владеющие техникой логарифмических вычислений, легко решающие логарифмические и показательные уравнения, в то же время сплошь и рядом имеют настолько слабое представление о сущности логарифма, что задача «найти без помощи таблицы 10^lg7» вызывает у них принципиальные затруднения; тем более, конечно, им остается недоступным вопрос о функциональной природе логарифма, даже если они занимались вычерчиванием графика этой функции. И здесь мы должны сказать: если учащийся не привык связывать с графиком логарифмической функции такие вопросы, как возрастание логарифма при возрастании числа, быстрота этого возрастания на различных участках числовой прямой, отрицательность логарифмов чисел, меньших единиц, отсутствие логарифмов у нуля и отрицательных чисел, пересечение всех логарифмических кривых в одной точке как иллюстрация того, что lg_a 1 = 0 при любом a > 0 и т. д., то знакомство с графиком логарифмической функции остается для него в значительной степени бесполезным. В этом дефекте нашего школьного преподавания, как ни в одном другом, сказывается один из его основных общих недостатков — гипостазирование формального момента каждой изучаемой темы в ущерб ее идейному содержанию.  {71} 

В нисколько не меньшей степени все сказанное относится и к изучению (прямых и обратных) тригонометрических функций; и здесь логарифмические вычисления, решение треугольников и тригонометрических уравнений, как правило, подавляют и отодвигают на задний план как раз то, что и с идейной, и с практической точки зрения должно было бы стать основным стержнем всей тригонометрии: функциональную природу синуса, косинуса и т. д.

И здесь, как правило, в сознании учащихся почти отсутствует твердое представление о периодичности как основной черте тригонометрических функций; знаки этих функций в различных квадрантах, возрастание и убывание их не связываются с графическими изображениями; почти никому не известно, что косинусоида получается простым смещением синусоиды, а те, кто об этом слышал, не умеют указать соответствующих этой геометрической ситуации аналитических соотношений.

Все указанные факты и много других аналогичных весьма тяжело отражаются на качестве подготовки учащихся и ненужным образом осложняют и затрудняют их последующую работу в высшей школе. При таком подходе включение элементов учения о функциональной зависимости в курс средней школы не может достигнуть ни одной из своих целей.

Что же нужно для борьбы с этими недостатками? Ответ на этот вопрос явно вытекает из всего сказанного. Никакая концентрация внимания и усилий на прохождении специальной темы «Функции и их графики» здесь не поможет. Нужно, во-первых, чтобы все разделы курса математики, предшествующие этой теме (а также — прибавим — и уроки физики и химии) были использованы для систематической, планомерной пропедевтики учения о функциональной зависимости. И нужно, во-вторых, чтобы при изучении разделов курса, связанных со специальными важнейшими функциями, идейная, функциональная сторона вопроса каждый раз становилась тем стержнем, вокруг которого группируется все остальное, а не ютилась на задворках.

Мы полагаем, что все нужные для этой цели указания могут и должны найти себе место и в программах (что не требует обязательного их изменения по содержанию), и в объяснительных записках к ним.

III

Все сказанное до сих пор относилось к роли, месту и удельному весу понятия функциональной зависимости в школьной математике. Теперь мы переходим к самому важному вопросу — о содержании этого понятия.

История понятия функциональной зависимости в математической науке хорошо известна, и нам нет надобности излагать ее здесь в деталях. Различные авторы от Ньютона до наших дней весьма различно формулировали содержание этого понятия. Самой яркой и наиболее важной для нашей цели тенденцией исторического развития понятия функции, несомненно, является постепенно и в борьбе совершавшееся и лишь во второй половине XIX столетия окончательно завершившееся освобождение этого понятия от уз формального аппарата — математической формулы. При первом возникновении понятия функциональной зависимости математическая формула, аналитическое выражение, обнаружило себя как превосходное орудие исследования этого понятия. Доверие к этому орудию было столь велико, формула с такой неизменностью появлялась всюду, где заходила речь о функции, что вскоре, как это часто бывало в математике, утратилась необходимость, а потому и способность проводить различие между математическим понятием и тем формальным аппаратом, который был призван для анализа и обслуживания этого понятия. Функцию стали отождествлять с аналитическим выражением, и это отождествление было не только фактом научной практики, но отстаивалось как явно формулированный тезис многими ведущими математиками. Однако никогда не умирало и противоположное течение, исходившее из более или менее осознанного принципа о необходимости строгого различия между содержательно-определенным математическим понятием и формальным аппаратом, служащим для его внешнего выражения. Как всегда, жизнь оказалась на стороне реальной, а не формальной концепции, и в окончательном итоге победило реальное понимание, запрещающее смешивать функцию с тем аналитическим выражением, которым она изображается. Формальный аппарат, возведенный в ранг, ему не подобаюший, из удобного и послушного орудия постепенно обратился в тирана и душителя идеи функциональной  {73}  зависимости; на известном этапе математической науки понятие функции, эволюционируя, не могло уже уложиться в тесные рамки аналитического выражения. Если давно уже было известно, что одно и то же аналитическое выражение может служить для изображения нескольких различных функциональных зависимостей, то теперь появились случаи, когда, обратно, для изображения одной и той же функциональной зависимости приходилось пользоваться несколькими различными аналитическими выражениями; а иногда приходилось пользоваться и такими функциями, для изображения которых трудно было найти аналитическое выражение, и — что самое главное — аналитическое выражение это во многих случаях оказывалось настолько сложным, что его не удавалось использовать для изучения данной функции; приходилось вести исследование другими, не аналитическими, методами.

Все эти и многие другие факты заставили, наконец, признать, что искусственное приковывание понятия функциональной зависимости к аналитическому аппарату лимитирует и тормозит естественное и необходимое науке развитие этого понятия; что только полное раскрепощение понятия функции от теснящих ее рамок формулы, аналитического выражения, способно дать надлежащий простор для такого развития этого понятия, какогo требуют нужды математики и прикладных наук. Это сознание уже в середине прошлого столетия нашло себе выражение в определении понятия функции, которое обычно связывают с именем Дирихле и которое безоговорочно принимается современной наукой. В этом определении нет никакого упоминания об аналитическом выражении, мы имеем дело с функцией всякий раз, когда каждому значению одной величины в некоторой области поставлено в соответствие некоторое определенное значение другой величины; при этом способ, которым задается это соответствие, имеет лишь второстепенное значение и во всяком случае не оказывает никакого влияния на самый факт функциональной зависимости. Это может быть либо аналитическая формула, либо геометрическое преобразование, либо просто исчерпывающая словесная формулировка и т. д. Так, для известной «функции Дирихле», равной нулю для всех рациональных и единице для всех иррациональных значений аргумента, можно  {74}  найти аналитическое выражение в терминах обычной математической символики; но от того, что такое выражение найдено, функция Дирихле не становится в большей степени функцией, чем она была до этого; и без этого аналитического выражения она с точки зрения современных концепций является полноценной функцией; более того, то сравнительно сложное аналитическое выражение, которое может быть для нее найдено, едва ли сможет хоть чем-нибудь помочь нам при изучении свойств этой функции и останется бесплодным научным созданием, способным лишь радовать глаз любителя «аналитических выражений» во что бы то ни стало.

Приняв определение функции как соответствия, математическая наука сделала из этого все необходимые выводы. Однако в культурно-историческом отношении последовательное, до конца идущее проведение этой реформы оказалось делом не столь уже легким; традиции всего многолетнего предшествующего периода, когда над понятием функции довлела идея формулы, аналитического аппарата, с большим трудом поддавались изжитию; во многих случаях они живы и до сих пор, и сплошь и рядом даже в лучших из современных руководств для высшей школы мы находим явные следы этих традиций.

Понятно, что средняя школа, дальше, чем высшая, стоящая от науки, страдает этим недостатком в значительно большей мере. Фактически все преподавание учения о функциях в средней школе, формально базируясь на современном определении основных понятий, ведется на таком уровне и в таком стиле, что высшая школа вынуждена начинать свою работу с исправления большого числа неправильных и антинаучных представлений и навыков своих студентов.

Гипноз формулы является универсальным злом, настолько вкоренившимся в сознание учащихся, что в высшей школе первые попытки создать правильное представление функциональной зависимости наталкивается подчас на ожесточенное сопротивление.

Определение функции

неизменно вызывает возражение в том смысле, что это «не одна, а две функции», и стоит большого труда убедить студента, что здесь — одна функция, а не две, в силу того самого определения функции, которое он же твердо знает наизусть, вынеся его из той же средней школы. Когда впервые ознакомишь студентов с функцией Дирихле (которую, кстати сказать, уже давно пора бы показывать учащимся в средней школе), то неизменно встречаешь вопрос: «Какая же это функция? Как же ее записать?»; предлагаешь записать ее так: у = φ(х), тогда студент с возмущением говорит: «Разве это формула?» — он искренне убежден, что его обманывают, и приходится прочитать целую часовую лекцию с историческими экскурсами, чтобы дать понять студентам простую вещь, которой их давным-давно должна была бы научить средняя школа: что формула у = у(х) для обозначения функции Дирихле¹ ничем ни принципиально, ни практически не отличается от формулы у = sin x для обозначения синуса; что не существует функций, принципиально не изобразимых формулами; и что вопрос об изображении формулой имеет для идеи функциональной зависимости лишь внешнее и второстепенное значение. Но может ли и должна ли средняя школа давать учащимся такие представления о функциональной зависимости, которые полностью соответствовали бы современным научным концепциям? Чтобы решить этот вопрос, мы должны исходить из основного принципа, который мы считаем непреложным правилом для решения всех подобного рода вопросов: в тех случаях, когда современная научная концепция какого-либо понятия слишком сложна для сознания учащихся средней школы, школа может и должна заменить ее другой, упрощенной концепцией, но обязательно идущей в том же направлении, так, чтобы высшая школа могла потом доразвить эту концепцию, ничего, однако, из нее не отбрасывая за антинаучность. Именно так обстоит дело с понятием иррационального числа и с понятием предела. Но никогда, ни в одном случае школа не может и не должна заменять принятую в современной науке концепцию такою, которая стояла бы с нею в противоречии, так, чтобы высшая школа принуждена была тратить время и силы на отучивание  {76}  студентов от тех представлений, с которыми они пришли из средней школы.

В отношении понятия функциональной зависимости мы настаиваем на том, что средняя школа и может, и должна не только по форме, но и по существу привить учащимся строго научные представления и навыки. Школа может это сделать потому, что современная научная концепция понятия функции проста, не обременена никаким формализмом и что рецидивы формалистического подхода, которые мы повсеместно наблюдаем, объясняются отнюдь не большей легкостью этого подхода, а исключительно недостаточным научным уровнем и методической косностью составителей учебников и некоторой части методистов и учительства. Школа должна это сделать потому, во-первых, что борьба против формализма в основных научных понятиях есть неотъемлемая задача советской школы, и потому, во-вторых, что только этим путем высшая школа может быть избавлена от печальной необходимости убеждать студентов, что представления, принесенные ими из средней школы, противоречат современным научным воззрениям и потому должны быть изжиты в кратчайший срок.

IV

Мы должны перейти теперь к последнему, практически наиболее важному вопросу: что и как должно быть изменено в традиционном преподавании учения о функциональной зависимости для изжития того дефекта, о котором говорилось в предыдущем разделе?

Та пропедевтика функционального мышления, основные контуры и стиль которой мы выше пытались обрисовать, делает вполне возможным введение к теме «Функции и их графики» вполне научного определения функции не только одной, но и многих переменных, как это уже было нами отмечено. Однако традиционный стиль примеров, рассматриваемых непосредственно вслед за этим определением, способен разрушить положительный эффект определения и привить учащимся мысль, что формальное определение само по себе, а на деле функция есть просто формула, и обратно — формула есть функции. Чтобы этого избежать, мы считаем необходимым уже среди первых примеров функциональной  {77}  зависимости наряду с традиционными алгебраическими или геометрическими соотношениями рассматривать и такие зависимости, как функция Дирихле или функции такого типа:

очень полезно рассмотрение таких функций, как [х], ([х] наибольшее целое число, не превосходящее х), х – [х] и т. п. Во всех случаях, разумеется, необходима графическая иллюстрация (в случае функции Дирихле и ей подобных надо разъяснить причины трудностей графической иллюстрации).

Вот еще примеры задач, которые мы считали бы очень полезными для разбора в классе:

1. Аналитически записать на отрезке –1 ≤ х ≤ 1 функцию, графическое изображение которой дано на следующем чертеже:

2. Тяжелая точка падает на землю с высоты 1 м; упав, она остается лежать на месте падения; полагая, что момент начала падения есть t = 0 сек и что ускорение силы тяжести g = 9,8 м/сек², найти аналитическое выражение и график зависимости между высотой точки над землей и временем для 0 сек ≤ t ≤ 1 сек.  {78} 

Каждый учитель без затруднений мажет сам составить любое число аналогичных примеров.

Очень желательно рассказать учащимся о смысле и роли аналитического выражения как условной записи для часто употребляемой функциональной зависимости, проводя параллель между записью функции с помощью формулы и записью числа с помощью цифр: подобно тому как цифры не порождают числа, а, напротив, являются лишь его внешним выражением, так и формула, выражающая функцию, не порождает ее, а лишь служит аппаратом для ее изображения. Подобно тому как для неизменных чисел история знает целый ряд способов нумерации, так и аналитическое выражение данной функции есть историческое явление, имеющее свое начало и свой эволюционный путь. Если, например, сегодня условиться обозначать через ψ(х) функцию Дирихле, если это условие будет принято в мировом масштабе и войдет в привычки людей, то через известное время ψ(х) станет таким же «аналитическим выражением», такой же «формулой», как √х или lgx, и тому, кто пишет ψ(х), не придется уже, как теперь, словами разъяснять смысл этой записи, как не приходится всякий раз словами разъяснять, что такое √х или lg x. Мы полагаем, что беседа по этому вопросу должна сильно укрепить в сознании учащихся ту важнейшую основную мысль, что функция есть первичная реальность, в то время как аналитическое выражение является лишь созданным нами инструментом для изучения функций, что функция существует и может быть изучаема и без соответствующего аналитического выражения.

Эта основная мысль должна быть подчеркнута и во всем дальнейшем преподавании. Дело здесь не в ломке программы, требующей самое большее незначительных редакционных изменений. Дело в том, чтобы тщательно избегать всего того, что способно привести и фактически приводит к искажению в сознании учащихся вышеуказанной основной мысли. Таких пунктов очень много; в большинстве случаев первоисточником искажения является неудачное изложение в учебнике, которому без достаточной критики следует учитель. В дальнейшем мы отметим несколько пунктов, изложение которых в его традиционной форме особенно неудовлетворительно в интересующем нас отношении.  {79} 

Прежде всего это касается области определения или (менее удачный термин) «области существования» функции. Общеизвестна традиция учебников (в том числе и учебников для высшей школы) вычитывать эту область существования из формулы; говорят, например, что «функция +√1 – x² существует только для |x| ≤ 1». Такая терминология должна быть признана научно нечеткой и педагогически вредной, так как в основе ее лежит мысль, что функция, которая для |x| ≤ 1 определяется формулой +√1 – x² не может быть определена за пределами этого отрезка, что существование функции кончается там, где изображающее ее аналитическое выражение теряет смысл. Отсюда, конечно, недалеко до обычного утверждения, что условия типа

определяют «не одну, а две функции», так как если «функция +√1 – x² не существует при |х| > 1, то очевидно, что наше определение величины у за пределами отрезка –1 ≤ х ≤ 1 должно представлять собой новую, «вторую» функцию.

На самом деле ситуация, конечно, следующая; формула (а не функция) +√1 – x² существующим соглашениям способна изображать собой данную функцию только при |x| < 1; поэтому, если мы хотим данную функцию изобразить формулой за пределами этого отрезка, мы должны с этой целью искать другого аналитического выражения; выражение же +√1 – x² при |x| > 1 теряет смысл (само собой разумеется, что все время идет речь лишь о вещественных значениях функции). Это положение вещей настолько ясно и элементарно, что в доведении его до сознания учащихся не может встретиться никаких трудностей. Совершенно аналогичным образом учащимся внушается мысль, что символ y = lg х имеет смысл (и поэтому может служить для изображения некоторой функции) лишь при х > 0 и т. д. Но наряду с этим полезно тут же указать, что

представляет собой настоящую, полноценную функцию, и дать графическую иллюстрацию этой функции.

В связи с областями определения функции мы хотели бы еще отметить, что учащимся желательно привить общую мысль, согласно которой функция, как правило, определяется для тех значений аргумента, какие для данной задачи представляют реальное значение. Так, например, р_n — периметр правильного n-угольника, вписанного в круг радиуса 1, по сути дела имеет смысл определять лишь для целых n > 3: число перестановок из n элементов — для всех натуральных n; если аргумент t означает температуру, то в большинстве случаев нет смысла определять функцию для t ≤ –273°С и т. д. Вообще для выбора области определения функции решающим моментом должно являться реальное значение изучаемой функциональной зависимости, а никак не формальное аналитическое выражение ее, установленное для той или иной части этой области.

Наконец, мы должны остановиться на том понятии, в котором формальное направление находит себе наиболее яркое выражение и которое поэтому представляет в исследуемом нами отношении наибольшую опасность; это понятие «многозначной» функции, с которым учащиеся встречаются сперва при извлечении корней, а затем — при изучении обратных тригонометрических функций. Понятие многозначной функции целиком принадлежит эпохе, когда аналитическое выражение было не орудием исследования, а родоначальником функциональной зависимости. Дело положительно обстоит так, что в стране, полностью завоеванной новой, реальной концепцией этого понятия, осталась одна неприятельская крепость, со всех сторон осажденная, но до сих пор не сложившая оружия. Эта крепость — понятие многозначной функции, и борьба с нею на фронте школьного преподавания тем труднее, что не только высшая школа, но и сама наука все еще не могут расстаться с этим понятием, стоящим в явном идейном и стилистическом  {81}  противоречии со всем духом современного учения о функциональной зависимости.

В самом деле, что такое многозначная функция? Нам говорят: у есть многозначная функция от х, если каждому значению х соответствует несколько значений у. Но что значит «несколько»? Если это означает твердое конечное число, то такое определение не охватит собой даже нужд средней школы с ее бесконечнозначным арксинусом. Если же слову «несколько» приписывать расшифрованное значение, понимая под ним в случае надобности и «бесконечно много», то, очевидно, всякая величина у есть функция всякой другой величины х, так как, что бы ни означали х и у, при каждом значении величины х величина у, очевидно, может принимать лишь какое-нибудь одно из всего множества доступных ей значений. Таким образом, из понятия функциональной зависимости выхолащивается всякий смысл.

Всякая же попытка детализировать определение, внести в него те или другие оговорки ведет к осложнениям, с одной стороны, совершенно не нужным, а с другой стороны — безусловно, недоступным восприятию школьника.

Современная математическая наука на высших ступенях своего развития пользуется целым рядом весьма далеко идущих обобщений понятия функции. Она отнюдь не отказывается от рассмотрения и такого случая, когда значением аргумента является число, а значением функции — множество чисел. Однако все это не имеет ничего общего с нуждами не только средней школы, но даже и основного курса анализа в высших учебных заведениях, по меньшей мере в области вещественного переменного. Совсем другой ветер занес в эти элементарные области понятие многозначности. Двести лет назад наши предки при изучении обратных функций ввели обычай изображать единой формулой у = √х оба решения уравнения у² = х и единой формулой у = Arc sin х; всю бесконечную совокупность решений уравнения sin у = х. Но это была эпоха, когда «одна формула» означало «одна функция». А когда позднее всем научным миром было принято новое, реальное определение понятия функции и когда стало ясно, что «функция» √х или Arc sin x под это определение не подходят, то для спасения  {82}  положения был придуман термин «многозначная функция»¹

На самом деле понятие многозначной функции для элементарной теории функций вещественного переменного совершенно излишне. Педагогически оно вредно (как в средней, так и в высшей школе), так как: 1) дух и стиль его неразрывно связаны с формалистической концепцией, преодоленной и отвергнутой современной наукой и 2) оно вносит в определение функции ненужные осложнения, угрожающие к тому же полностью лишить его содержания. Как и во многих других случаях, фактическое положение вещей здесь настолько просто, что доведение его до сознания учащихся без какого бы то ни было упоминания о многозначных функциях не представляет ни малейшего затруднения; надо только решиться сбросить бремя традиции, веками тяготеющее над этим моментом учения об элементарных функциях. Написав и исследовав соотношение у² = х, мы убеждаемся, что обе функции у = +√х и у = –√х для всех х ≥ 0 удовлетворяют этому соотношению, если угодно записать эти две функции одной формулой, то можно записать у = ±√х или у = е√х, где е — параметр, могущий принимать значение +1 и –1. Вот и все. Подобным же образом, исследуя соотношение sin у = х, мы приходим к выводу, что каждая из функций

где n — любое целое число, a arc sin х известное «главное значение» удовлетворяет этому соотношению; другими словами, синус имеет не одну, а бесконечное множество обратных функций, при каждом значении параметра n формула (1) дает одну из таких обратных функций. Наконец, можно не возражать и против символа у = Arc sin х для более краткой записи выражения (1); надо только четко отметить, что символ arc sin здесь означает не одну функцию, а бесконечное множество функций и что структура этого множества с гораздо большей  {83}  полнотой вскрывается записью (1). Вот и все. При таком способе изложения сохраняется простота и четкость, присущие современному определению понятия функциональной зависимости, функция и формула отчетливо различны одна от другой, и нет места никаким ненужным расширениям, угрожающим самому смыслу понятия функции. Вместе с тем этот способ изложения не содержит в себе ничего более сложного, чем укоренившаяся в нашей учебной литературе и педагогической практике традиция оперировать с «многозначными» функциями.