Методические замечания

Таким образом, мы полагаем, что основной задачей преподавания теории пределов в средней школе является создание прочного и отчетливого представления о предельном переходе, идейно отвечающего той концепции предела, которая принята современным математическим анализом и его основными приложениями; при этом нет надобности, а во многих случаях даже и вредно доводить понятие предела до того формально-логического расчленения, которое присуще современному научному изложению.

Такая целевая установка должна, разумеется, оказать решающее влияние и на. всю методику преподавания рассматриваемой главы — на выбор и расположение материала, стиль изложения и т. д. Здесь мы не можем, конечно, дать полной методической разработки этой главы. Наша задача состоит в том, чтобы собрать несколько отдельных замечаний методического характера, вытекающих из вышеописанной целевой установки. При этом мы, естественно, сосредоточим внимание читателя на тех моментах, в традиционное изложение которых мы считаем необходимым внести некоторые изменения и поправки.

Отчетливое и конкретное представление о сложном явлении, в котором участвует много переменных величин с весьма различным характером изменения, легче всего  {64}  сложится у учащихся, если с первых же шагов все основные понятия теории пределов будут выведены на базе всестороннего изучения одного такого явления. Выбираемое для этой цели явление должно быть, с одной стороны, достаточно наглядным и во всех своих элементах близким сознанию учащихся, а с другой стороны — достаточно точно протекающим для того, чтобы на его базе могли быть созданы четкие понятия и проведены точные вычисления. Может быть, более всего отвечают этой цели геометрические процессы. Если, например, в качестве исходной иллюстрации выбрать процесс безграничного удвоения числа сторон вписанного в данную окружность многоугольника и изучать это явление во всех его деталях, то учащиеся сразу будут иметь перед своим взором большое число участвующих в одном и том же процессе переменных величин самого разнообразного поведения: длина стороны, величина внутреннего угла, величина внешнего угла, периметр, апофема, сумма внутренних углов, сумма внешних углов и т. д. Здесь будут и бесконечно малые, и бесконечно большие, и постоянные, и величины с положительными пределами. Никак не следует жалеть времени на столь детальное изучение одного примера, так как воспитательный эффект такого изучения намного превысит то, что могло бы получиться в результате рассмотрения десятка разрозненных искусственных и лишенных наглядности примеров. Мы в особенности подчеркиваем значение того обстоятельства, что в нашем примере изучаемые переменные величины участвуют в одном и том же процессе, и таким образом изменения их взаимно координированы, функционально связаны между собой; даже если это обстоятельство не будет явно подчеркнуто учителем, продолжительное сосредоточение мысли учащихся на таком конкретном осложненном явлении, несомненно, окажет значительное развивающее воздействие, приучая мысль ассоциировать отвлеченные понятия теории пределов со сложными и многообразными процессами реальной действительности. В связи с этим мы вообще хотели бы предложить ограничить до необходимого минимума число примеров, не связанных с фактическим материалом курса, и тем самым носящих искусственный характер. Не говоря уже о геометрии, и теория прогрессий, и десятичные дроби, и учение об иррациональных числах дают столько  {65}  материала для примеров и задач на предельные переходы, что вряд ли есть надобность в значительном числе упражнений, специально подобранных и не имеющих реально ощутимого содержания. Однако и то небольшое число таких упражнений, которое будет признано необходимым, следует выбирать не случайно, а целесообразно; речь должна всегда идти о предельном поведении такого аналитического выражения, которое в том или ином смысле является типичным и поучительным и тем самым может оказаться полезным в будущем; в качестве примера можно указать хотя бы изучение поведения отношения двух многочленов при безграничном возрастании независимой переменной в зависимости от степеней числителя и знаменателя; будет хорошо, если учащиеся приобретут умение сразу, без вычислений указывать пределы при х → ∞ таких выражений, как

В определениях понятий, в формулировках и доказательствах теорем следует неизменно подчеркивать динамическую сущность предельного перехода, никогда не опуская необходимого упоминания о процессе и различных его стадиях и неуклонно требуя от учащихся ясного понимания этой стороны дела. Учащийся должен четко понимать, что 0,000 000 000 1 не есть бесконечно малая величина и что, напротив, расстояние от поверхности Земли до метеорита, которому суждено упасть на Землю, есть бесконечно малая величина, хотя бы это расстояние сейчас исчислялось огромным числом километров. Учащийся должен твердо знать, что величина является бесконечно малой лишь в данном явлении, в рамках данного процесса, и что в другом явлении та же величина может иметь другой характер изменения. Учащийся должен знать, что переменная величина может стремиться к своему пределу либо снизу, т. е. со стороны меньших значений (возрастая), либо сверху (убывая), либо двусторонне (колеблясь), и что в последнем случае она может и до завершения процесса проходить через свое предельное значение. Для всякого, кто не владеет достаточно бегло всеми перечисленными и подобными им представлениями, учение о пределах в лучшем случае  {66}  останется формально усвоенной, но идейно бессодержательной теорией.

Наконец, необходимо сказать несколько слов об обозначениях и терминологии. Совершенно необходимо, чтобы наряду с традиционным обозначением lim х = а ученики в полной мере владели и эквивалентной записью того же факта х → а, с каждым годом все более и более часто встречающейся в анализе и его приложениях. Следует писать

и соответственно читать не «при х, равном а», а «при х, стремящемся к а». Запись «n → ∞» весьма желательно читать «n безгранично возрастает», во всяком случае, совершенно необходимо твердое понимание учащимися того факта, что n здесь ни к какому пределу не стремится. Наконец, учитель должен обратить внимание на то, что символ «lim» читался «предел», а не «лимит», слова «лимит» учащееся вовсе не должны слышать из уст учителя; им должно быть указано, что символ «lim» имеет своим происхождением латинское слово limes, что означает предел (часто встречающееся утверждение, будто этот символ происходит от французского слова limite, основано на явном недоразумении, потому что с таким же основанием можно было бы производить его от соответствующего английского, итальянского, испанского и т. д. термина).