Понятие предела в средней школе Исторический очерк

Как и большинство математических понятий, свойственная современной науке концепция предела создалась не сразу, а претерпела длинную эволюцию от своей зачаточной формы до того вида, в каком мы встречаем ее в современной математике. При первом взгляде на этот эволюционный процесс мы различаем в нем четыре основных определяющих этапа.

Первый этап, наиболее длительный, охватывает XVII и XVIII столетия и связан с эпохой первоначального, бурного и некритического развития анализа бесконечно малых. Это — период стремительного накопления фактического материала, конкретных результатов; как всегда в такие эпохи, внимание ученых здесь лишь в незначительной степени сосредоточивается на анализе и точном определении основных понятий; вряд ли поэтому можно сейчас указать такую формулировку концепции предела, которая соответствовала бы во всех случаях пониманию этой эпохи; можно попытаться лишь обрисовать некоторые общие черты представления о пределе, свойственного науке этого периода.

Во всякую эпоху концепция предела целиком обусловливается тем, как понимается бесконечно малая величина. Известно, что в рассматриваемый нами период развития математического анализа в понимании природы бесконечно малых величин не было ни полной ясности, ни полного единогласия. Хотя процессуальное, динамическое происхождение бесконечно малых не подлежало сомнению, самая идея переменной величины была еще настолько нова, так неуверенно еще воспринималась научной мыслью, что термин «бесконечно малая» в значительной степени понимался еще как указание на размеры величины, а не как характеристика способа ее изменения; в ходу были описательные выражения, вроде  {53}  «тень величины», «дуновение величин» и т. д. Если попытаться выразить это представление в точных терминах, то необходимо признать, что бесконечно малая величина понималась как величина, по абсолютному значению меньшая любого положительного числа и в то же время отличная от нуля; так как переменный характер этой величины при этом выражался лишь описательно и по сознанию той эпохи не мог быть адекватно выражен точными логическими терминами, то понятие бесконечно малой величины с логической точки зрения оставалось статическим, и по существу мы имели дело с «актуальными» (т. е. постоянными) бесконечно малыми. Хотя логическая несостоятельность этой концепции, несомненно, возбуждала беспокойство наиболее выдающихся умов той эпохи, такое понимание держалось очень долго; более того, и в наше время оно подчас еще заходит свое отражение в прикладных науках (понимание дифференциала в механике) и в некоторых учебниках (см., например, курс математического анализа проф. Выгодского; справедливость требует отметить, что автор полностью отдает себе отчет в архаизме излагаемой им концепции и пользуется ею сознательно как педагогическим приемом). Причину столь длительного пребывания понятия бесконечно малой величины (а значит, и понятия предела) в логически недоработанном состоянии следует видеть отчасти в уже указанном нами стиле эпохи, целиком занятой спешным построением здания математического анализа и потому не имевшей времени для основательного исследования фундамента этого здания; но имеется и другая, более существенная причина: включение в рамки математической науки идеи переменной величины как объекта точного исследования требовало, как это впоследствии очень ясно было указано Энгельсом, элементов диалектического мышления, что описываемой эпохе в ее целом было, очевидно, не под силу. Отсюда получалось такое положение, когда динамический характер бесконечно малых величин и предельных переходов хотя и, несомненно, сознавался, но вынужден был оставаться вне рамок точных математических формулировок и допускался лишь как описательное, не претендующее на точность дополнение к этим формулировкам. Эта первая стадия в эволюции понятия предела в настоящее время должна считаться окончательно преодоленной,  {54}  и возврат к ней во всех случаях должен рассматриваться как проявление реакционных тенденций.

Второй этап в развитии понятия предела, относящийся примерно к первой половине XIX столетия, знаменует собой самый значительный сдвиг, который претерпело это понятие «а протяжении всей своей истории. В этот период внимание творчески работающих ученых было уже достаточно приковано к вопросам обоснования математического анализа, вследствие чего явилась возможность преодоления того основного логического дефекта концепции предела, о котором говорилось выше. Метод этого преодоления по существу состоял в том, что идея переменной величины была твердо вложена в рамки точных математических понятий и формулировок; это и дало возможность в определение понятия предела включить идею переменности, т. е. вернуть этому понятию его первоначальную динамичность, полностью учесть в его определении его процессуальное происхождение и тем самым избегнуть тех логических недомолвок, которые были характерны для предшествующей эпохи. В этот период уже четко говорится: бесконечно малой называется величина, которая на известной стадии рассматриваемого процесса становится и во всех дальнейших стадиях его остается (по абсолютному значению) как угодно малой (меньше любого положительного числа). Нет сомнения, что эта динамическая, процессуальная сущность понятия бесконечно малой величины (и, конечно, соответствующей концепции предела) была многим ясна и в предшествующую эпоху; но явное включение ее в формальное определение понятия предела требовало весьма значительной эволюции математического мышления, включения в него существенно нового диалектического элемента и, безусловно, является одним из крупнейших достижений описываемой эпохи, связанной с именами Коши, Абеля и других ученых.

Именно это определение бесконечно малой величины со всей отчетливостью говорит, что термин «бесконечно малая» в применении к данной величине указывает не на ее размеры (бесконечно малая величина может быть иногда очень большой), а на характер ее изменения. В этом смысле термин «бесконечно малая», созданный в более раннюю эпоху, является очевидным анахронизмом; его следовало бы заменить термином «безгранично-убывающая»  {55}  или другим аналогичным; к сожалению, этого не случилось, и каждый педагог знает, сколько трудностей и ошибок порождает это неудачное словоупотребление.

Для вопросов, связанных с преподаванием в средней школе, чрезвычайно важно отметить, что несмотря на всю дальнейшую эволюцию понятия предела, о которой речь впереди, современная наука ни в какой мере не отвергает концепции, созданной в описываемую эпоху. Современная математика уточняет и обобщает эту концепцию, но не отменяет ее ни в одном ее пункте в противоположность пониманию XVII–XVIII столетий, которое современной науке, по изложенным выше причинам, «представляется несостоятельным.

Третий этап относится ко второй половине XIX столетия. Он теснейшим образом связан как с общей тенденцией формализации математической науки, так и с более узким устремлением — арифметизировать анализ, т. е. свести его обоснование к натуральному числу. В этот период были впервые построены исчерпывающие теории иррациональных чисел (Дедекинд, Кантор) и перестроены на созданной таким.образом более прочной базе основания анализа бесконечно малых (Вейерштрасс и др.)

Известно, что без полной теории иррациональных чисел учение о пределах не может быть надлежащим образом обосновано; определение классических констант π, e и др. не имеет точного смысла; основные теоремы (например, теорема о существовании предела у монотонной ограниченной величины) без общего определения иррационального числа либо неверны, либо лишены содержания; между тем теоремы эти совершенно необходимы уже в пределах курса средней школы. Надо отметить, что принятие этого рода теорем в качестве не подлежащих доказательству постулатов нисколько не спасает положения; так как основная трудность заключается не столько в (невозможности дать доказательства этих теорем, сколько в том, что самое содержание их без предварительного общего определения иррационального числа становится либо неверным, либо лишенным точного смысла; так, для того, кто не знаком с общим понятием иррационального числа, предложение о существовании предела у монотонной ограниченной величины (все равно вводится ли оно в качестве аксиомы или теоремы) может  {56}  быть истолковано лишь в одном из двух смыслов: либо так, что предел всегда существует в области тех чисел, которые данному лицу уже знакомы; это, очевидно, неверно; либо же никакой определенной области не имеется в виду, и тогда предложение теряет всякое определенное содержание.

Таким образом, если с идейной стороны понятие предела уже в достаточной степени оформилось в первой половине XIX столетия, то все же в созданной этой эпохой концепции оставались весьма значительные пробелы, восполненные лишь во второй половине века.

Вместе с тем возросшие требования к формализации математики заставили по-новому отредактировать самую формулировку определения предела, не меняя, впрочем, ее идейной сущности. В прежнем определении бесконечно малой величины еще явно или неявно имелись ссылки на реальный процесс, в котором участвует данная величина, и о различных стадиях этого процесса. В новой редакции нашло себе выражение требование полной формализации этой стороны определения. Фактически с этой эпохой бесконечно малая величина (а равно и всякая величина, стремящаяся к пределу) всегда понимается как функция одной или нескольких независимых переменных, и указание на реальный процесс заменяется формальным описанием поведения этих переменных. Выражение «у → b» само по себе становится лишенным смысла, и только выражения вида «у → b при x → a» получают определенное содержание. Это содержание формулируется так: «|у – b| сколь угодно мало, если |х – а| достаточно мало», или еще более точно (последняя формулировка в наше время почти неизменно встречается в солидных курсах анализа): «Сколь бы мало ни было ε > 0, существует такое δ > 0, что всякий раз, когда |х – а| < δ выполняется и неравенство |y – b| < ε».

Такова степень формализации прежнего указания на реальный процесс и его различные стадии. В этом последнем определении по внешности нет уже ничего от первоначальной процессуальности идеи предела; живая динамика предельного перехода в этом словесном выражении как бы заменена неподвижным, чисто статическим соответствием между некоторыми областями значений независимой переменной и соответствующими  {57}  областями значений функции. Этот внешне статический характер выработанного современной математикой понятия предела дает часто повод к обвинению его в том, что, выхолостив из идеи предела всю ее динамичность, оно тем самым имеет тенденцию удалить математическую концепцию предела от той живой реальности, отображением и абстракцией которой она должна служить. Эти упреки по существу несправедливы, так как современное определение предела, ни в одном пункте не противореча прежнему, а лишь его уточняя, не может тем самым иметь и иного содержания. Однако, что для нас важно, в педагогическом отношении выраженная в этих упреках точка зрения заслуживает всяческого внимания. Так как для того, чтобы за этим, в процессе логического анализа, доведенном до последнего расчленения и принявшем статический облик определений предела, не потерять из вида первоначальной, реальной динамики предельного перехода, нужен весьма высокий уровень научной культуры; перед всяким, кто не овладел с достаточной беглостью типичными ходами современной, усложненной математической мысли, стоит весьма действенная опасность — в самом деле утратить связь понятия предела с тем реальным источником, из которого это понятие произошло и отображением которого в абстрактной математической науке оно призвано служить.

Последний, четвертый, этап в развитии понятия предела относится уже к нашему столетию и возник в связи с назревшей уже давно необходимостью значительного расширения идеи, заложенной в первоначальной концепции предела. Уже давно математика, наряду с простейшим случаем вещественной переменной, должна была заняться изучением предельных переходов в областях совсем другой структуры: предел комплексного числа, предел многомерного вектора, предел функции, предел случайной величины (в теории вероятностей); в более сложных случаях оказалось целесообразным рассматривать по нескольку различных предельных концепций; так, в случае предела функции пришлось различать обыкновенную сходимость, равномерную сходимость, сходимость «в среднем» и т. д., причем различные предельные переходы, естественно, обладали различными специфическими свойствами. Это обстоятельство вместе с тенденцией к обобщению, свойственной математике  {58}  нашей эпохи, привело к созданию общих учений о предельном переходе; здесь речь идет не о пределе переменной величины, в тесном смысле этого слова, т. е. не о пределе переменного вещественного числа; то, что стремится к пределу, равно как и самый этот предел, могут иметь любое предметное содержание — от этого содержания общее учение о пределе полностью абстрагирует, и единственным объектом изучения является структура самого предельного перехода. Такова в значительной мере концепция предела в современной топологии (общее учение о непрерывных преобразованиях) и в современном общем анализе.

Мы не будем останавливаться подробнее на этом важном новом моменте истории понятия предела, так как, несмотря на все его научное значение, он вне всяких сомнений не может не только быть внесен в школьное преподавание, но хотя бы оказать косвенное влияние на программу и стиль этого преподавания. Отметим только (это важно для нашей цели), что этот четвертый этап, подобно третьему, ни в какой мере не отменяет и не отвергает концепции предела, выработанной на втором этапе. Если в конце XIX столетия эта концепция подверглась уточнению и дополнению, то в нашем веке она была значительно обобщена и поднята на высшую ступень абстракции; но ни то, ни другое не знаменовало собой отказа от этой концепции.