11.Системы линейных алгебраических уравнений
Общий вид и свойства системы уравнений
Система т линейных уравнений с п неизвестными (переменными) х1
х2, ..., хn имеет вид
{a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1
{a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2
{….......................................
{am1x1+am2x2+...+amnxn=bm
Здесь аij и bi, — заданные числа (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n), которые называются, соответственно, коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений (1.35). Первый индекс у коэффициентов
при неизвестных означает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру неизвестного xt.
Решением системы уравнений (1.35) называется набор п чисел хх = оц,
х2 = а2,..., хn = аn при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.
Система уравнений (1.35) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений либо имеет одно решение и в таком случае называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.
Системы уравнений вида (1.35) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.
Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе.
• вычеркивание уравнения 0x1+0x20...+0xn= 0 — нулевой строки;
• перестановка уравнений или слагаемых aijXj в уравнениях;
• прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число;
• удаление уравнений, являющихся линейными комбинациями других уравнений системы.
Матричная форма системы уравнений
Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (1.35)
в матрицу
A=(a11 a12 … a1n)
(a21 a22 … a2n)
(…....................)
(am1 am2 … amn)
Эта матрица состоит из т строк и п столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных А' и матрицу свободных членов В (векторы-столбцы)
X=(x1), B=(b1)
(x2) (b2)
(....) (…)
(xn) (bm)
Тогда систему линейных уравнений (1.37) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен тхп, а размер X — n х 1, и значит, произведение этих матриц имеет смысл:
АХ = В.
(1.38)
Произведение матриц АХ является, как и В, матрицей-столбцом размера m x 1. Все уравнения системы (1.35) вытекают из уравнения (1.38) в силу определения равенства двух матриц (см. 1.2.1).
Введем в рассмотрение еще одну матрицу: дополним матрицу системы А столбцом свободных членов и получим новую матрицу размера
тех (п+ 1):
о.,,
An=(a11 a12 … a1n b1)
(a21 a22 … a2n b2)
(…..........................)
(am1 am2 … amn bm)
Матрица Ав называется расширенной матрицей системы. Эта матрица играет важную роль в вопросе о разрешимости системы уравнений.
- 1. Понитие n-мерного вектора, основные определения.
- 2. Операции над векторами
- 3.Линейная зависимость векторов
- 4. Базис и ранг системы векторов.
- 5. Матрица. Основные понятия и определения.
- 6. Линейные операции над матрицами
- 7.Операции над определителями
- 9. Понятие обратной матрицы
- 10. Ранг матрицы и системы векторов
- 11.Системы линейных алгебраических уравнений
- 12. Критерий совместимости слау (теорема Кронекера-Капелли)
- Теорема
- 15.Однородные системы линейных уравнений
- 16.Необходимое и достаточное условие существования нетривиального решения системы nxm:
- 17. Фундаментальная система решений
- 18.Общее решение системы уравнений в векторной форме:
- 19.Собственные значения и собственные векторы матрицы:
- 20. Ортогональная и ортонормированная система векторов.
- 21. Ортогонализация системы векторов.
- 22. Собственные векторы симметричной матрицы. Построение ортонормированного базиса.
- 32. Свойства взаимно-двойственных задач: