Билет 21. Характеристический многочлен линейного оператора. Условие существования собственных значений.

Характеристическим многочленом матрицы A называется det(A – lI)

Теорема: Характеристический многочлен матрицы является многочленом n-ой степени от l (Каждый элемент матрицы является многочленом степени не выше 1, значит каждый член определителя является многочленом степени не выше n. Все члены определителя, отличные от (a11 – l)(a22-l)…(ann – l) имеют степень не превосходящую n – 2).

Т Характеристические многочлены подобных матриц совпадают (A – lI = (Q^-1)BQ – l(Q^-1)IQ) = B - lI).

Т Число является собственным значением тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. (Ax – lI = 0  det(A-lI) = 0). Равенство характеристического многочлена 0 называется характеристическим уравнением.