§5. Поверхностный интеграл 2го рода

Теорема 1. Пусть поверхность задана явным уравнением , , причём функции – непрерывны. Поверхностный интеграл 1^го рода от непрерывной на функции существует и имеет место равенство

(1)

Доказательство формулы (1) вполне аналогично доказательству подобной формулы для криволинейного интеграла 1^го рода (предлагаем студентам провести это доказательство самостоятельно). Доказательство же существования поверхностного интеграла 1^го рода (как и всех других интегралов) использует такие математические понятия, которые выходят за рамки программы дисциплины «Математический анализ» для студентов высших технических учебных заведений.

Теорема 2. Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями

,

причём функции и их частные производные первого порядка непрерывны. Поверхностный интеграл 1^го рода от непрерывной на функции существует и может быть вычислен по формуле

Из этих теорем вытекает правило для сведения поверхностного интеграла 1^го рода к двойному интегралу:

в подынтегральную функцию подставить уравнение (уравнения) поверхности, а элемент площади заменить подынтегральным выражением из соответствующей формулы для площади поверхности (см. §3).

Пример 1. Дан цилиндр с однородной боковой поверхностью. С какой силой эта поверхность притягивает массу , находящуюся в центре основания?

Решение. Пусть центр основания находится в начале координат, а образующие цилиндрической поверхности параллельны оси . Тогда параметрические уравнения этой поверхности имеют вид:

или в векторной форме

Симметрия и однородность означают, что, где

Предварительные вычисления:

Сводим поверхностный интеграл к двойному и вычисляем:

Напомним, что – это область изменения параметров:

Пример 2. Найти момент инерции боковой поверхности конуса относительно плоскости основания, если: 1) поверхностная плотность в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию от точки до оси конуса; 2) в наиболее удалённых точках плотность равна .

Решение. Пусть ось конуса совпадает с осью аппликат, а центр основания – с началом координат. В теме «Кратные интегралы», §7, в примере 3 мы уже выводили уравнение такой поверхности:

Её проекция на плоскость – это круг

Формула для вычисления искомого момента инерции

Предварительные вычисления:

,

Вычисляем момент инерции:

Пример 3. Найти положение центра масс однородной полусферы радиуса .

Решение. Рассмотрим верхнюю половину сферы с центром в начале координат. Она задаётся функцией с областью определения . Так как поверхность однородна и симметрична относительно оси аппликат, то центр масс лежит на этой оси: . Для координаты имеем формулу

Учитывая однородность, т.е. , получим

Предварительные вычисления

Интеграл, стоящий в знаменателе для – это площадь полусферы: . Вычислим числитель этой формулы:

Итак, имеем : центр масс однородной полусферы находится в средней точке радиуса, перпендикулярного плоскости основания полусферы.