§2. Касательная плоскость к поверхности, заданной параметрически

Напомним, что направляющий вектор касательной к линии

имеет вид . Здесь – значение параметра, которое соответствует точке касания.

Далее, касательная линия к поверхности – это касательная к линии, лежащей на поверхности, а касательная плоскость – это плоскость, в которой лежат все касательные прямые (Подробно обо всём этом смотри «Математический анализ, ч.1», тема «Функции нескольких переменных», §8 и §9).

Что касается нормального вектора касательной плоскости к поверхности

можно рассуждать таким образом. Через точку проходят две координатные линии: и . Их векторные уравнения:

Направляющие векторы касательных к этим линиям и соответственно. Векторное произведение этих векторов

можно взять в качестве нормального вектора касательной плоскости. Зная точку касания , криволинейные координаты которой , и нормальный вектор , нетрудно написать уравнение касательной плоскости

Можно написать готовую формулу касательной плоскости (без вычисления вектора ), если воспользоваться общим приёмом. Берём текущую точку касательной плоскости и рассматриваем три вектора: , и . Они компланарны и, следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Отсюда получаем уравнение касательной плоскости

Здесь производные функций вычисляются при значениях параметров и , которые соответствуют точке касания .

Пример. Составить уравнения касательной плоскости к винтовой поверхности

в токе , криволинейные координаты которой .

Решение. Находим частные производные функций и подставляем в соответствующую формулу:

.

Разлагаем определитель по 1^й строке:

.

Оставим в левой части уравнения только члены, содержащие текущие координаты и разделим обе части уравнения на :