I Сторона поверхности

В криволинейных интегралах подынтегральные функции определены на линии (плоской или пространственной), а в поверхностных интегралах – на поверхности. Аналогом криволинейного интеграла 1^го рода является поверхностный интеграл 1^го рода. Сразу встаёт вопрос, как построить аналог криволинейного интеграла 2^го рода.

При построении обоих криволинейных интегралов путь интегрирования разбивается на частии в каждой части выбирается точка,. При построении интеграла 1^го рода значение подынтегральной функции умножается на длину частичной дуги. Для интеграла 2^го рода то же значение умножается на проекцию дугина координатную ось: если, то

Число есть ни что иное, как длина геометрической проекции дугина ось абсцисс, взятая со знакомили. При этом знак автоматически определяется выбором направления обхода пути интегрирования.

Вернёмся к поверхностному интегралу 1^го рода. Поверхность разбивается на частии в каждой из них выбирается точка,. Затем значениеумножается на площадь части. Если мы хотим построить аналог криволинейного интеграла 2^го рода, то должны спроектировать на координатную плоскость и площади этой геометрической проекции приписать определённый знак:или. Это приписывание знака осуществляется с помощью выбора стороны поверхности.

Рассмотрим гладкую поверхность , т.е. поверхность, в каждой точке которой существует касательная плоскость, а, следовательно, и нормаль. Возьмём на поверхности определённую точку, проведём в ней нормаль и выберем на этой нормали определённое направление – одно из двух возможных. Представим себе наблюдателя, который может перемещаться по поверхности, и пусть выбранное направление нормали пронизывает его от ног к голове. Проведём позамкнутый контур, исходящий изи возвращающийся в, и не пересекающий границы. После возвращения наблюдателя в точкуможет случиться одно из двух: либо после обходанаблюдатель вернётся вс тем же направлением нормали, либо же – с направлением, противоположным исходному.

Если для какой -либо точки и какого-либо контура, проходящего через неё, имеет место второй случай, то и для любой другой точкилегко построить контур, который приведёт наблюдателя с противоположным направлением нормали. Таким контуром может служить. Другими словами это свойство не отдельной точки, а свойство всей поверхности, которую называют односторонней. Классические примеры таких поверхностей – это лист Мёбиуса и бутылка Клейна. Подобные поверхности из рассмотрения исключаются.

Предположим теперь, что какова бы ни была точка и каков бы ни был замкнутый контур, проходящий черези не пересекающий границы поверхности, наблюдатель возвращается вс исходным направлением нормали. При этих условиях поверхность называют двусторонней. Для некоторых поверхностей свойство двусторонности очевидно. Для замкнутой поверхности – это внутренняя и внешняя стороны, а для поверхности, заданной явно, – это верхняя и нижняя стороны. Последние термины – «верхняя» и «нижняя» – будем использовать и для поверхностей, заданных другими явными уравнениямии. Заметим, что одна и та же сторона может быть верхней относительно одной оси координат и нижней относительно другой. Примером может служить четверть параболоида,,.

Пусть – двусторонняя поверхность. Возьмём на ней любую точку и на нормали в этой точке выберем определённое направление. Наблюдатель, перемещаясь по поверхности, в каждую её точку «принесёт» вполне определённое направление нормали. Совокупность всех точек поверхности с приписанными направлениями нормали называется стороной поверхности.