§3. Площадь поверхности, заданной параметрически
Напомним определение понятия «площадь поверхности», которое было дано в теме «Кратные интегралы», §5, VI.
Поверхность разбивают на части , и обозначают . В каждой такой части выбирают точку и проводят касательную плоскость . Затем проектируют на : и суммируют площади этих проекций.
.
Конечный предел и называют площадью поверхности. Известно, что, если в каждой точке поверхности существует касательная плоскость, то поверхность имеет площадь. (Заметим, что речь идёт, конечно, не о всей поверхности, а о некоторой её ограниченной части).
Пусть поверхность задана параметрически:
Разобьём область изменения параметров на прямоугольники линиями и .Тем самым и поверхность соответствующими координатными линиями разобьётся на пространственные «четырёхугольники».
.
Рассмотрим, один из таких «четырёхугольников» . Касательную плоскость проведём в точке, криволинейные координаты которой . Проекцию на эту плоскость можно приближенно считать параллелограммом, который построен на векторах и . Эти частные приращения вектор-функции двух аргументов можно выразить через частные производные и приращения аргументов (теорема Лагранжа):
Площадь же параллелограмма, построенного на векторах, есть модуль их векторного произведения:
(1)
Заметим, что здесь произведение – это площадь прямоугольника в области изменения параметров , которому соответствует часть поверхности . Перенумеруем все такие прямоугольники и просуммируем площади проекций (1):
.
В этой сумме нетрудно увидеть интегральную сумму для двойного интеграла.
Теорема. Площадь поверхности, заданной параметрически
,
вычисляется по формуле
если только написанные частные производные являются непрерывными в области .
Замечание. Как уже говорилось, явное задание поверхности есть частный случай параметрического:
Тогда
и мы приходим к известной формуле:
.
Пример. Найти площадь одного витка винтовой поверхности
Решение. Предварительные вычисления:
Выражаем искомую площадь через интеграл:
Используя результат примера 13 из §3, III темы «Неопределённый интеграл»
,
нетрудно получить искомую площадь
- Тема поверхностные интегралы
- §1. Параметрическое задание поверхности
- §2. Касательная плоскость к поверхности, заданной параметрически
- §3. Площадь поверхности, заданной параметрически
- §4. Поверхностный интеграл 1го рода
- I Определение
- II Свойства
- III Смысл
- IV Вычисление
- §5. Поверхностный интеграл 2го рода
- I Сторона поверхности
- II Определение поверхностного интеграла 2го рода
- III Вычисление поверхностного интеграла 2го рода
- IV Формула Стокса
- V Формула Остроградского-Гаусса
- Список рекомендованной литературы
- Приложения а. Теоретические вопросы к модульным контролям
- В. Образец практической части билета мк-1
- С. Образец практической части билета мк-2