Лекции_по_ДМ

Декартово (прямое) произведение множеств

Декартовым произведением двух множеств А и В называют множество всех упорядоченных пар элементов из А и В. Таким образом, АВ={(a,b): аA и bВ}.

Обобщение на систему множеств: пусть {A₁,A₂,A₃,…,A_n} конечная система множеств, тогда A₁ A₂ A₃ … A_n={(a₁,a₂,…,a_n): a_i A_i, i=1,2,…,n}. Элементы (a₁,a₂,…,a_n) называются упорядоченными «энками» или кортежами длины n. Если множества A₁,A₂,A₃,…,A_n совпадают и равны A, тогда A₁ A₂ A₃ … A_n обозначается Aⁿ , если A=ℝ  ℝℝ…ℝ⇋ℝⁿ – называется n‑мерным Евклидовым вещественным пространством, а элементы этого пространства (a₁,a₂,…,a_n) называются n‑мерными векторами или точками.

Примеры:

1) A={a, b, c}; B={0, 1} =>AB={(a,0), (a,1), (b,0), (b,1), (c,0), (c,1)}.

2) A=[-2; 2]; B=[1; 3] => AB={(x,y): -2 x  2, 1 y 3} – прямоугольник на вещественной плоскости.

3) A – круг радиуса r, B=[a, b] – отрезок. Тогда AB – цилиндр радиуса r и высотой (b‑a).

4) A и B – окружности с несовпадающими центрами, тогда AB – поверхность тора.

Множества A и B в прямом произведении АВ называют координатными осями, а элементы xА и yВ – проекциями вектора z=(x,y)АВ на координатные оси или координатами точки z (абсциссой и ординатой соответственно). Будем обозначать их пр_Аz и пр_Вz.

Пусть множество М АВ, проекцией множества М на ось А называется множество всех абсцисс векторов из М , проекцией множества М на ось В называется множество всех ординат векторов из М, т.о. пр_АМ={ пр_Аz: zМ}={xА: yВ и (x,y)М} и пр_ВМ={ пр_Вz: zМ}={yВ: xА и (x,y)М}.

Для многомерного случая A₁ A₂ A₃… A_n , каждое множество A_i называется i-той координатной осью. Проекция вектора z=(a₁, a₂,…, a_n) на i-тую координатную ось равна его i-той координате: пр_iz=a_i , гдеi=1,2,…,n. Если М A₁ A₂… A_n , то пр_i М={ пр_i z: zМ}. Определены также проекции вектора z и множества векторов М на несколько координатных осей с номерами i₁, i₂,…,i_k: пр_i_1,_i_2…_ik z = ( a_i₁, a_i₂,…, a_ik) – k‑мерный вектор и пр_i_1,_i_2…_i_k М = { пр_i_1,_i_2…_i_k z: zМ } – множество k‑мерных векторов.

Пример:

Тройки вещественных чисел (а₁, а₂, а₃) можно рассматривать как точку в трехмерном пространстве (или вектор, проведенный в эту точку из начала координат). Тогда пр_i (а₁, а₂, а₃)=a_i, где i=1,2,3, пр_i,j (а₁, а₂, а₃)=(a_i, a_j), где i,j=1,2,3. См. рис.6.

Содержание