8) Экстремум функции
Экстре́мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализевыделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).
Определения
Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения f. Тогда
x0 называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что
x0 называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что
Если неравенства выше строгие, то x0 называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.
x0 называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
x0 называется точкой абсолютного минимума, если
Значение функции f(x0) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.
Необходимые условия существования локальных экстремумов
Лемма Ферма. Пусть функция дифференцируема в точке локального экстремума x0. Тогда:
.
Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.
- 1) Определение предела функции в точке. Предел суммы, произведения, частного двух функций.
- 2) Определение производной, её геометрический и физический смысл. Определение касательной к графику функции. Вывод уравнения касательной к графику функции.
- 3) Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
- 4) Правила Дифференцирования.
- Понятие сложной функции. Правило вычисления производной сложной функции.
- 7) Определение монотонной функции. Достаточное условие монотонности функции на промежутке .
- 8) Экстремум функции
- Достаточное условие экстремума функции.
- 10) Теорема Вейерштрасса
- 11) Асимптоты (вертикальные, наклонные)графика функции, вывод правила их нахождения.
- 12) Определение комплексных чисел.
- 13) Операции над комплексными числами в алгебраической форме и их свойства.
- 14) Геометрическая интерпретация комплексного числа
- 16) Определение комплексного корня n-й степени из комплексного числа
- Многочлены от одной переменной. Степень многочлена. Равные многочлены. Основные свойства операций сложения и умножения многочленов.
- Деление многочленов с остатком.
- 19) Значение многочлена. Корень многочлена. Теорема Безу и её важнейшее следствие.
- 21.Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.
- 22.Обобщенная теорема Виета для многочленов n-ой степени
- 23.Векторы в пространстве. Сумма и разность векторов, умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Угол между векторами.
- 26.Определение скалярного произведения двух векторов и его свойства.
- 27.Различные виды уравнения плоскости
- 28.Определение угла между плоскостями. Формула вычисления кос угла между плоскостями с выводом
- 29.Различные виды уравнений прямой в пространстве
- 30.Взаимное расположение прямой и плоскости
- 31.Вычисление координат точки пересечения прямой с плоскостью
- 32.Определение расстояния от точки до плоскости
- 33.Уравнение сферы…