Федеральное агентство по образованию5

Сосредоточенный источник тепла

Рассмотрим нестандартную задачу о теплопроводности при наличии в точке x = ξ сосредоточенного источника тепла. В этой точке решение задачи

Удовлетворяющий начальному условию

И краевым условиям

удовлетворяет условиям сопряжения

Где Q=Q(t) – мощность источника.

Условие разрыва теплового потока означает что разрывные первые производные , т.е. решение u=u(x,t) имеет на прямой x = ξ слабый разрыв. Чтобы написать однородную разностную схему, учитывающую источник Q при x = ξ, воспользуемся интегро-интерполяционным методом.

Предположим, что сетка равномерна и

Тогда во всех узлах разностное уравнение имеет обычный вид

Напишем уравнение баланса для интервался при фиксированном . Учитывая, что

Будем иметь

Совершая отсюда обычный переход к разностному уравнению, получаем

Таким образом, схема имеет вид:

Где —символ Кронекера. Для погрешности z = y—u получаем уравнение с правой частью

и краевыми условиями:

Пользуясь уравнением баланса, преобразуем выражение к виду

Для определенности будем считать, что , т.е. Тогда

По аналогии со случаем разрывных коэффициентов находим

Учитывая затем, что

Находим

Нетрудно заметить также, что

Однако в данном случае выбор коэффициента не улучшает порядка точности. Из формулы видно, что и» следовательно, , если , т.е. источник находится в узле сетки.

Содержание