Решение задачи теплопроводности по радиальной переменной

Имеем цилиндрически-симметричную задачу теплопроводности:

(1)

С начальными условиями:

(2)

Краевыми условиями:

(3)

(4)

В месте расположения спирали задается условие сосредоточенного источника тепла:

(5)

(6)

Обозначим L:

(7)

Введем сетку:

,

.

L аппроксимируем:

(8)

(9)

Задачу аппроксимируем методом баланса. Функции кусочно-непрерывны, поэтому

Возьмем σ=1.

Получаем неявную разностную схему,

(10)

Разностная схема определена на шаблоне:

* * *

*

Коэффициенты являются нелинейными функциями, таким образом приходим к нелинейному уравнению теплопроводности и для нахождения ее решения используется метод итераций

(11)

Относительно разностная схема оказывается линейной.

Задача в точке имеет в наличии сосредоточенный источник тепла и удовлетворяет условию сопряжения. Уравнение примет вид

(12)

Граничное условие (3) аппроксимируем методом баланса, σ=1:

(13)

(14)

Аппроксимируем краевое условие (4) приr=0, σ=1:

(15)

,

.

Получим систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей [15-18]. Такая система решается методом прогонки:

Найдем коэффициенты системы:

2. Содержание

   • Глава I. Численное решение квазилинейных многомерных уравнений теплопроводности с разрывными коэффициентами
   • Глава II. Численное моделирование теплового процесса приварки сварочной гильзы в полимерных армированных трубах
   • Введение Актуальность
   • Цель работы
   • Глава I Численное решение квазилинейных многомерных уравнений теплопроводности с разрывными коэффициентами
   • Однородные разностные схемы для уравнения теплопроводности
   • Сосредоточенный источник тепла
   • Цилиндрически-симметричные задачи теплопроводности
   • Квазилинейное уравнение теплопроводности
   • Метод суммарной аппроксимации
   • Методы решения задачи Стефана
   • Методы с выделением границы фазового перехода
   • Методы сквозного счета
   • Глава II Численное моделирование теплового процесса приварки сварочной гильзы в полимерных армированных трубах
   • Постановка задачи
   • Алгоритм задачи Стефана
   • Решение задачи теплопроводности по радиальной переменной
   • Решение задачи теплопроводности по осевой переменной
   • Заключение.
   • Список использованной литературы