Решение задачи теплопроводности по осевой переменной

Имеем обычную задачу теплопроводности в декартовых координатах:

(1)

С начальными условиями:

(2)

Краевыми условиями:

(3)

(4)

Введем сетку:

,

.

Задачу аппроксимируем методом баланса. Функции кусочно-непрерывны, поэтому

Возьмем σ=1.

Получаем неявную разностную схему. Коэффициенты являются нелинейными функциями, таким образом приходим к нелинейному уравнению теплопроводности и для нахождения ее решения используется метод итераций:

. (4)

Граничное условие (3) аппроксимируем методом баланса

Возьмем σ=1

(5)

Условие (4) первого рода аппроксимируется точно:

Получаем систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Решаем методом прогонки:

Найдем коэффициенты системы:

В качестве начального приближения берется функция температуры с предыдущего шага по времени: . Прекращаем итерации по условию: