Сосредоточенный источник тепла
Рассмотрим нестандартную задачу о теплопроводности при наличии в точке x = ξ сосредоточенного источника тепла. В этой точке решение задачи
Удовлетворяющий начальному условию
И краевым условиям
удовлетворяет условиям сопряжения
Где Q=Q(t) – мощность источника.
Условие разрыва теплового потока означает что разрывные первые производные , т.е. решение u=u(x,t) имеет на прямой x = ξ слабый разрыв. Чтобы написать однородную разностную схему, учитывающую источник Q при x = ξ, воспользуемся интегро-интерполяционным методом.
Предположим, что сетка равномерна и
Тогда во всех узлах разностное уравнение имеет обычный вид
Напишем уравнение баланса для интервался при фиксированном . Учитывая, что
Будем иметь
Совершая отсюда обычный переход к разностному уравнению, получаем
Таким образом, схема имеет вид:
Где —символ Кронекера. Для погрешности z = y—u получаем уравнение с правой частью
и краевыми условиями:
Пользуясь уравнением баланса, преобразуем выражение к виду
Для определенности будем считать, что , т.е. Тогда
По аналогии со случаем разрывных коэффициентов находим
Учитывая затем, что
Находим
Нетрудно заметить также, что
Однако в данном случае выбор коэффициента не улучшает порядка точности. Из формулы видно, что и» следовательно, , если , т.е. источник находится в узле сетки.
-
Содержание
- Глава I. Численное решение квазилинейных многомерных уравнений теплопроводности с разрывными коэффициентами
- Глава II. Численное моделирование теплового процесса приварки сварочной гильзы в полимерных армированных трубах
- Введение Актуальность
- Цель работы
- Глава I Численное решение квазилинейных многомерных уравнений теплопроводности с разрывными коэффициентами
- Однородные разностные схемы для уравнения теплопроводности
- Сосредоточенный источник тепла
- Цилиндрически-симметричные задачи теплопроводности
- Квазилинейное уравнение теплопроводности
- Метод суммарной аппроксимации
- Методы решения задачи Стефана
- Методы с выделением границы фазового перехода
- Методы сквозного счета
- Глава II Численное моделирование теплового процесса приварки сварочной гильзы в полимерных армированных трубах
- Постановка задачи
- Алгоритм задачи Стефана
- Решение задачи теплопроводности по радиальной переменной
- Решение задачи теплопроводности по осевой переменной
- Заключение.
- Список использованной литературы