Квазилинейное уравнение теплопроводности

Между тем для высокотемпературных процессов, протекающих, например, в плазме, коэффициент теплопроводности является нелинейной функцией температуры (и плотности), а в ряде задач, кроме того, функцией градиента температуры. Далее, источники тепла (правые части в уравнении теплопроводности) могут зависеть от температуры, если, например, тепло выделяется в результате химической реакции. От температуры может зависеть и теплоемкость среды.

Рассмотрим теперь два типа чисто неявных схем (схем с опережением, а=1) для простейшего квазилинейного уравнения теплопроводности

где

Схема а):

Схема б):

где

например,

(1)

(2)

(3)

От способа вычисления сильно зависит точность расчета температурной волны. Проведенные численные эксперименты для случая, когда есть степенная функция температуры, показывают, что формулой (3) для не следует пользоваться, а формула (1) лучше, чем (2) (по точности). Сравним схемы (а) и (б). Погрешность аппроксимации этих схем . Обе они абсолютно устойчивы. Схема а) линейна относительно значения функции на слое и значения функции находятся по значению функции на слое например, методом прогонки. Поскольку схема а) абсолютно устойчива, шаг τ выбирается только из соображений точности. Схема б) не линейна относительно функции и для нахождения ее решения используется метод итераций. Итерационный процесс строится следующим образом:

Относительно разностная схема оказывается линейной. В качестве начальной итерации берется функция у предыдущего шага по времени: Практически оказывается достаточным сделать две-три итерации. Даже в том случае, если итерации не сходятся, для повышения точности схемы оказывается полезным сделать две итерации.