Основные положения метода сеток для решения задачи Коши

Чаще всего задача Коши решается методом сеток. Суть метода сеток состоит в следующем. В области интегрирования выбирается упорядоченная система точек называемая сеткой. Точки называют узлами, а h – шагом сетки. Если h=b-a/2, сетка называется равномерной. Также существует неравномерная сетка. Решение ищется в виде таблицы значений в узлах выбранной сетки, для чего дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений, связывающих между собой значения искомой функции в соседних узлах. Такая система называется конечно-разностной схемой (интегро-интерполяционный метод). Согласно этому методу для получения конечно-разностной схемы проинтегрируем дифференциальное уравнение на каждом интервале для k=1,2,...,n. получаем, что значение искомой функции в к-ом узле определяется через значение в предшествующем узле с поправкой, выраженной в форме интеграла. Аппроксимируя интеграл одной из квадратурных формул, получаем те или иные формулы относительно приближенных неизвестных значений искомой функции. Структура конечно-разностной схемы для задачи Коши такова, что она устанавливает закон рекуррентной последовательности для искомого решения. При замене интеграла приближенной квадратурной формулой вносится погрешность аппроксимации дифференциального уравнения разностным.Таким образом, если имеется аппроксимация и схема устойчива, то, выбрав достаточно малый шаг h, можно получить решение с заданной точностью при этом затраты на вычисления резко уменьшаются с увеличени- ем порядка аппроксимации p.