Уравнение Колмогорова (прямое). Следствия из уравнений Колмогорова.
Дифференциальные уравнения Колмогорова (УрК) служат для описания изменчивости вероятностей состояний многоэлементной системы с отказами и восстановлениями. При этом предполагают, что система функционирует в непрерывном времени, а ее элементы меняют свое состояние под воздействием дискретных токов отказов и восстановлений с интенсивностями k и µk соответственно; здесь k = 1,…, N , где N – число элементов системы. При простейшем потоке этих событий, т. е. при ординарности потока и отсутствии последействия, возникает марковский процесс переходов системы из состояния в состояние. УрК описывают подобные процессы. Переменными в УрК служат вероятности состояний исследуемой системы (t), . Получение этих вероятностей в результате решения УрК позволяет оценить практически важные показатели надежности, например, вероятность безотказной работы системы.
Рассмотрим три последовательных момента времени для непрерывных цепей Маркова.
Пользуясь уравнениями Колмогорова-Чепмена и соотношениями:
,
N-максимальное число требований, λi – плотности вероятности выхода из состояния, а λij – плотности вероятности перехода из состояния в состояние.
Имеем:
Поэтому
Переходя к пределу при Δt→0, получаем прямую систему уравнений Колмогорова:
,
Если задано начальное распределение вероятностей q=(q0,q1…qn), где q1=P{X(0)=i},
Умножая каждое из прямых уравнений Колмогорова на qi и складывая их, получим систему уравнений для вероятностей состояний
p(0)=q, где p=(p0,p1,…,pn) – вектор-строка вероятностей состояний. Эта система имеет стационарную точку, в которой =0 ; в стационарной точке дифференциальные уравнения переходят в линейные алгебраические: =0
Определитель этой системы равен нулю, поскольку сумма его столбцов равна нулю. Для любого Δt:
Поделив это на Δt и перейдя к пределу, получим:
Сумма столбцов ⋀ равна нулю. Поэтому одно из уравнений является следствием других. Заменив его на
Получим систему линейных алгебраических уравнений для стационарных вероятностей:
ИЛИ
С остояние в момент s
Состояние в момент u
С остояние в момент t
Перейдем к системе уравнений Чепмена-Колмогорова для непрерывных цепей Маркова:
Введем матрицу
Тогда: .
Матрица (единичная матрица)
.
Определим матрицу:
Матрица - предел матрицы при неограниченному уменьшении единичного временного интервала, а матрица - предел матрицы .
- инфинитезимальный оператор матричной функции переходов
– матрица интенсивности переходов.
Прямое уравнение может быть записано, как в виде систем уравнений для элементов входящих в него матриц.
Начальные условия:
В случае однородной непрерывной цепи Маркова:
Вероятности:
- Случайные процессы. Основные определения и понятия.
- Случайные процессы. Основные характеристики: плотность распределения, среднее значение, скорость изменения и автокорреляционная функция.
- Дискретные цепи Маркова. Однородные цепи Маркова. Определение.
- Классификация цепей Маркова. Основные определения и понятия, характеристики.
- Теорема о существовании предельных вероятностей для неприводимой и апериодической однородной цепи Маркова.
- Вычисление предельных вероятностей эргодической цепи Маркова (на основе примера).
- Цепи Маркова с непрерывным временем. Основные понятия.
- Уравнение Колмогорова (прямое). Следствия из уравнений Колмогорова.
- Уравнение Колмогорова (обратное). Следствия из уравнений Колмогорова.
- Процессы гибели и размножения (определение). Уравнение Колмогорова для процессов гибели и размножения.
- Процесс чистого размножения. Распределение Пуассона.
- Процесс Пуассона и его основные свойства.
- Процедуры просеивания пуассоновского потока: регулярная, случайная.
- Связь пуассоновского потока с экспоненциальным временем интервалов между соседними заявками.
- Системы массового обслуживания. Основные понятия.
- Элементы систем массового обслуживания. Классификация Кендала.
- Однолинейная смо с конечным накопителем (граф переходов, система уравнений). Стационарные вероятности состояний.
- Однолинейная смо с конечным накопителем. Вычисление среднего числа заявок в очереди.
- Однолинейная смо с конечным накопителем. Вычисление среднего числа заявок в системе.
- Однолинейная смо с конечным накопителем. Вычисление среднего времени ожидания обслуживания.
- Однолинейная смо с конечным накопителем. Вычисление среднего времени пребывания заявок в системе.
- Однолинейная смо с бесконечным накопителем. Вычисление основных характеристик системы.
- Многоканальная смо с пуассоновским потоком и экспоненциальным временем обслуживания. Граф переходов. Система уравнений.
- Многоканальная смо с пуассоновским потоком и экспоненциальным временем обслуживания. Среднее число заявок в очереди. Среднее время ожидания.
- Многоканальная смо с пуассоновским потоком и экспоненциальным временем обслуживания. Среднее число заявок в системе. Среднее время пребывания заявок в системе.
- Многоканальная замкнутая смо. Диаграмма интенсивностей переходов и уравнения для вероятностей состояний переходов. Основные характеристики системы для стационарного режима.
- 24. Метод этапов. Последовательное расположение этапов с экспоненциальным распределением каждой фазы обработки. Распределение Эрланга.
- Двухэтапный эрланговский обслуживающий прибор .
- 25. Распределение Эрланга с этапами обслуживания
- 26. Преобразование Лапласа для распределения Эрланга с r этапами обслуживания
- 27. Коэффициент вариации для последовательного представления этапов.
- 28. Коэффициент вариации для параллельной организации этапов.
- Последовательно-параллельные методы обобщения.