Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точке.

Касательная плоскость к поверхности в её точке M₀(точка касания) есть плоскость, проходящая через M₀ и содержащая в себе все касательные, проведённые в точке M₀ ко всевозможным кривым, проведённым на поверхности через точку M₀.

Нормалью к поверхности в точке M₀ называется прямая, проходящая через точку M₀ и перпендикулярная к касательной плоскости, проведённой в этой точке.

Если уравнение поверхности имеет вид F(x, y, z)=0, то уравнение касательной плоскости в точке M₀(x₀,y₀,z₀), имеет вид:

Уравнение нормали к этой поверхности в точке M₀ есть

В случае явного задания поверхности уравнением примут вид

9. Содержание

   • Функция многих переменных: определение, геометрический смысл, область определения, область значений, линия уровня, поверхность уровня.
   • Частные приращения функции двух аргументов, частные производные первого порядка, частные производные высших порядков
   • Сложные функции и их дифференцирование.
   • Неявные функции и их дифференцирование.
   • Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
   • Полное приращение и полный дифференциал функции двух аргументов первого порядка. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
   • Дифференциалы высших порядков от функции двух аргументов.
   • Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точке.
   • Скалярное поле, производная по направлению, градиент, их свойства.
   • Первообразная. Неопределенный интеграл: его свойства, геометрический смысл.
   • Интегрирование тригонометрических функций
   • Интегрирование дробно-рациональных функций.
   • Интегрирование некоторых трансцендентных функций.
   • Интегрирование простейших иррациональных алгебраических функций.
   • Интегрирование гиперболических функций
   • Интегральная сумма, определенный интеграл (определение, теорема существования, основные свойства, правила вычисления)
   • Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объема тела.
   • Физические приложения определенного интеграла: статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур, нахождение координат центра тяжести, теоремы Гульдена, вычисление работы и давления
   • Несобственные интегралы: определение, признаки сравнения
   • Двойной интеграл: определение, геометрический смысл, свойства, правила вычисления, замена переменных
   • Геометрические приложения двойного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела, площадь поверхности
   • Физические приложения двойного интеграла: масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции пластины.
   • Тройной интеграл: определение, геометрический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, теорема о среднем значении.
   • Приложения тройного интеграла: объем тела, масса, координаты центра тяжести, геометрические моменты инерции.