2. Кільця головних ідеалів та евклідові кільця.

Означення. Область цілісності з, кожен ідеал якої є головним називається кільцем головних ідеалів.

Приклад. Кільце цілих чисел є кільцем головних ідеалів. Дійсно, нехай— довільний ідеал кільця . Якщото. Тому вважатимемо, що. Тоді.

Внаслідок того, що — підкільце, то . Це означає, в кожному ідеалі є натуральне число. Нехай– найменше з усіх натуральних чисел ідеалу. За теоремою про ділення з остачею

Згідно з другою умовою з означення ідеалу , а згідно з першою. Це означає, що коли було бто віснувало б натуральне число, менше за.Томуі, отже,. Таким чином,

: ,

тобто ідеал – головний,.

Означення. Область цілісності зназивається евклідовим кільцем, якщо всякому її елементупоставлено у відповідність натуральне числотак, що

причому

Приклад. Кільце цілих чисел є евклідовим кільцем.

Справді, за теоремою про ділення з остачею

(1)

якщо тоі значить,

, .

Останні співвідношення можна переписати так:

(2)

Із формул (1) і (2) виходить:

Це означає, що коли кожному ненульовому цілому числу поставити у відповідність його абсолютну величину, тобто покласти, то кільцестає евклідовим кільцем.

Теорема 2.Всяке евклідове кільце є кільцем головних ідеалів.

Доведення. Треба довести, що всякий ідеал є головним, якщо, то— головний ідеал, породжений нулем. Якщо , то кожному його ненулевому елементовіа поставлено у відповідність натуральне число , тобто ідеалспіввіднесений з підмножиноюмножини натуральних чисел. Вє найменше число. Інакше кажучи, віснує елементтакий, що

Очевидно, що . Покажемо: що і навпаки, звідси випливатиме потрібна рівність.

За означенням евклідового кільця

На підставі другої умови з означення ідеалу , а на підставі першої – елемент. Якби, то, що суперечить вибору елемента. Томуі, значить,, тобто,. Теорема доведена.

Подільність в областях цілісності з одиницею.

На області цілісності з одиницею вдається розповсюдити багато відомих ефектів теорії подільності в кільці цілих чисел.

Нехай - область цілісності з 1. Говорять, що елементділиться на елемент,, якщо

Елемент називають дільникомі записують. Якщото елементиа, bKназиваються дільниками 1кільцяK.З рівності виходить, що івзаємно обернені. Отже, кожен дільник одиниці має обернений елемент. Навпаки, якщо для елемента існує обернений елемент, таі, значить,- дільникодиниці. В множині цілих чисел дільниками 1 є числа 1 і -1:=(-1)(-1)=1.

Зауважимо, що сукупність усіх дільників 1 утворює мультиплікативну групу. Цю групу дільників називають мультиплікативною групою кільця К.

Справді, якщо ідеякі дільники1,то( ,) :==1 Тоді

()()=() ()=1*1=1 тобто ,- дільник1 .

Виконання аксіом групи очевидне. Відзначимо, що всякий дільник одиниці є дільником довільного елементааК, бо

а = а1=а(=(а)

Елементи а, b К називається асоційовними, якщо а є дільником b і b – дільником а, тобто, якщо

З цих рівностей виходить, що а = а(dc)і. Значить dc=1, тобто d і c –дільники 1. Таким чином, асоційовні елементи відрізняються тільки дільниками 1.

Елементи а≠ 0 і з кільця К називається незвідним, якщо він не є дільником 1, і якщо із рівності а = bc(b,cК) випливає , що b або с – дільники 1. Як бачимо, незвідний елемент, дільниками якого, попри дільників 1,є тільки елементи, асоційовні з ним. В кільці цілих чисел дільниками 1 є тільки 1,–1, тому незвідні елементи — це числа, що діляться тільки на себе і на , тобто, це прості числа і ті від’ємні, абсолютні величини яких прості.

Елемент dК називається найбільшим спільним дільником елементів а,bК, d=(a,d), якщо

1. ad, bd

2. : (

Теорема 1.Для всяких одночасно не рівних нулю елементів а, b із кільця К головних ідеалів існує їх найбільший спільний дільник d К, який належить ідеалу, породженому елементами а і b, тобто,

, К: d=а+b

Доведення. Розглянемо ідеал І = {ax+by| x, y К} породжений елементами а i b. Оскільки кожен ідеал в К є головним, то існує елемент d І такий, що І=(d). Породжуючий елемент d цього ідеалу І є дільником всякого його елемента.

Відзначимо, що найбільший спільний дільник елементів a, bK визначається неоднозначно: якщо d=(a,b), то =(a,b), де  – довільний дільник одиниці.

Теорема 2.Якщо р – незвідний елемент кільця головних ідеалів К і елементів a, b K є таким , що р/ab , то р/а або р/b.

Доведення. Нехай р не є дільником а, і нехай d=(a, р). Покажемо , що d – дільник 1. Справді, якщо dне був дільником 1, то внаслідок незвідності елемента р подільності рd ми мали б : р=d,

де  - деякий дільник 1.Тоді d =р ^-1 і, в силу подільності аd, а= р(^-1, с)(сK), що суперечить припущенню ар. Отже, d – дільник 1. d=.

Оскільки =(a, р), то за теоремою 1

(x₀, y₀K):  = ax₀+р y₀

Помножимо цю рівність на b, матимемо

q=(ab)x₀+р( y₀b).

Оскільки за умовою ab і р, то обидва доданки правої частини діляться на р і, значить, b і р, тобто qK: b= pq або інакше b= р(^-1q), що означає bр.

Таким чином, якщо ab р і один з співмножників не ділиться на р, то другий обов’язково ділиться на р.

Елементи р₁,р₂,…,р_nтакі, що

а=р₁р₂…р_n /2/

причому в двох таких розкладах

а=р₁р₂…р_n а=’q₁q₂…q₃

r=1 та існуютьтакі дільники одиниці ₁₂…_{r ,}що можливо після перестановки індексів, р_і=_іq_і (і=1,2,…, r).

Лема 1. В кльці К головних ідеалів не існує нескінченного строго зростаючого ланцюжка ідеалів.

(а₁)(а₂)…(а_n)… /3/

Доведення. Нехай ми маємо деяку строго зростаючий ланцюжок ідеалів (3) і І= -обєднання всіх ідеалів цього ланцюжка.

Пересвідчимося в тому, що множина І є ідеалом.

Виконання першої умови з означення ідеалу випливає з того, що коли a, b I, тобто a, b , то (n, m):(а  (а_n))(b(а_m)),

Нехай для означеності nm. Тоді (а_n)<(a_m) і, значить, a, b (а_m). Оскільки (a_m) – ідеал, то а–b(а_m), внаслідок чого а-b=І. Якщо, крім того, k І

То аk  (а_n) тобто, виконується і друга умова з означення ідеалу.

Оскільки в кільці К кожен ідеал головний, то ( c I) I=(с).Породжуючий елемент с ідеалу І належить І= і, значить, в котромусь з ідеалів ,c  (а₁). Тоді І=(с) (а₁), але і І – об’єднання всіх ідеалів (а_і), тому (а₁)  І. Із включень І  (а₁) і (а₁)  І виходить, що І=(а₁), це і означає, що (а₁) – останній ідеал ланцюжка (3), чим лема доведена.

Лема 2. Головні ідеали (a) i (b) кільця К тоді і тільки тоді співпадають коли (a) i (b)асоційовані.

Доведення. Якщо (a) =(b), то а  (b), b  (a), внаслідок чого  k₁, k₂Z: а=bk₁, b= аk₂, що і означає асоційованість елементів aib.

Навпаки, нехай елементи aib асоційовані, тобто а=b, де  - дільник І. Тоді (а₁ (а))(k₁ К) : а=аk₁

Значить,а₁=b(k₁), внаслідок чогоа₁ (b) . Звідси виходить, що (a)(b). Аналогічно (b)(а). Таким чином , (a) =(b).

Будемо допускати, що в роскладі (2) індекс rприймати і значення 0. Тим самим домовимося вважати , що всякий дільник Іна розкладі не незвідний елемент.

Теорема 3. (Основна теорема теорії кілець головних ідеалів). Всякий не нульовий елемент кільця К головних ідеалів допускає одночасний розклад на незвідні елементи.

Доведення.

І. Доведемо спочатку, що для кожного елемента із кільця К існує розклад на незвідні елементи, тобто, що кожен елемент із К можна подати у вигляді (2)

Нехай а≠0 – довільний елемент із К. Оскільки деякий дільник І є дільником і елемента а, то а завжди можна подати у вигляді

a = bc (bcK) (4)

Якщо із цього подання виходить, що b або с дільники І, то а є або дільником І або незвідним елементом і подання (4) треба розглядати як розклад елемента а на незвідні елементи.

Якщо у формулі (4) b і с – не дільники І, то до них можна застосувати ті ж міркування, які були застосовані до а. В результаті одержимо

b=b₁b₂, с=с₁с₂ (b₁, b₂, с₁, с₂К)

і, значить,

а=b₁b₂с₁с₂

Можливі два випадки: 1) кожен з множників b₁, b₂, с₁, с₂ є або, дільником І або незвідним елементом. 2) серед елементів b₁, b₂, с₁, с₂ принаймі один не є ні дільником І, ні незвідним елементом. В першому випадку для елемента а справедливий розклад (2), в другому – наші міркування треба застосувати до тих із елементів b₁, b₂, с₁, с₂ які не є ні дільниками І ні незвідними елементами.

Міркуючи таким способом дальше, після певного числа кроків дістанемо

а=а₁а₂…а_n, (5)

де  - дільник І і а₁,а₂,…,а_n, - не дільники І запровадимо позначення а₁^’=а₂…а_n , а₂^’=а₂…а_n , а_n1^’=а_n.

Тоді а=(а₁)а₁^’а₁^’=а₂а₂^’а_n^’=а_n-1а_n-1

Внаслідок чого справедливе включення

(а)( а₁^’) (а₂^’)… (а_n-1^’), /6/

Які згідно з лемою 2 є строгими, бо породжуючі елементи цих ідеалів неасоційовані. Якщо в представленні (5) всі елементиа_1, а_2,…..а_n– незвідні, то це означає. Що для а справедливий розклад /2/. Якщо ж декотрі із цих елементів не є незвідними, то процес міркування треба продовжити. Одначе, цей процес може бути нескінченним, тому що тоді строго зростаючий ланцюг /6/ головних ідеалів був би теж нескінченним, що на підставі леми неможливо.

Отже, процес наших міркувань скінченний і після скінченного числа кроків одержимо для елемента а розклад /2/.

ІІ. Доведемо тепер, що розклад кожного елемента аК є однозначним.

Припустимо, що деякий елемент аК має два розклади:

А= ξр₁ р₂… р_r, а= ξ’q₁q₂…q_j

На незвідні множники. Тоді

ξр₁ р₂… р_r= ξ’q₁q₂…q_j

Або інакше ( ξ’)^-1 ξр₁ р₂… р_r= q₁q₂…q_j /7/

Ліва частина цієї рівності ділиться на р₁, тому і права q₁q₂…q_rділиться на р_1. Оскільки р₁ незвідний елемент, то за теоремою 2, яку по індукції можна поширити на довільне скінченне число співмножників, котрийсь із елементів q₁q₂…q_jділиться на р₁. Пронумерувати в разі потреби елементи q₁q₂…q_j, доб’ємося того, що q₁ і р₁. Оскільки q₁ і р₁ – незвідні елементи, то існує дільник одиниці ξ₁ такий що,q₁= ξ₁ р₁

Підставивши одержаний вираз замість q₁ у формулу /7/ і скоротивши на р₁ (на недільники нуля скорочувати можна), матимемо

ξ₁^-1( ξ’)^-1 ξр₁ р₂… р_r= q₁q₂…q_j

ліва частина цієї рівності ділиться на р₂. Тоді на р₂ ділиться і права. Провівши ті ж міркування, які були застосовані вище, матимемо

q₂= ξ₂р₂, ξ₂^-1ξ₁^-1( ξ’)^-1 ξр₃… р_r= q₃…q_j

якби будо r>1 то після r кроків мали б

ξ₂^-1… ξ₁^-1( ξ’)^-1ξ=q_r+1… q_j

або інакше І = ξ^-’ ξ’ ξ₁… ξ_rq_r+1… q_j

ця рівність означає, що незвідні елементи q_r+1… q_j є дільники І, а це суперечить їх незвідності. Отже r>І. лема логічно показує, що нерівність І>r теж неможлива. Таким чином І=r і справедливі одержані в процесі доведення рівності

q₁= ξ₁ р₁, q₂= ξ₂ р₂,…q_r= ξ_r р_r. Теорема доведена.

На закінчення даної теми відзначимо, що в області цілісності з І, яка не є кільцем головних ідеалів, розклад на незвідні елементи може бути неоднозначним.

Наведемо приклад. Легко перевірити, що сукупність z() комплексних чисел видуа+b і, де a і b – довільні цілі числа, є областю цілісності з 1. Покажемо, що кожен елемент z≠0 цього кільця має розклад на незвідні елементи, який може бути і неоднозначним.

З цією метою у відповідність кожному числу z= а+b і є z() , поставимо ціле невід’ємне число N(z)=a²+3b², яке назвемо нормою числа z. Елементарно показується, що

(z, z₁, z₂ є z()): (z= z₁ z₂)N (z) = (N(z₁)N( z₂))

(Показати самостійно!). Зокрема, якщо 1= z₁ z₂ (z₁, z₂ є z()),N (І) = N(z₁)N( z₂). Оскільки N (1)=N (1+0)=1,N(z₁)=N( z₂)=1. Якщо z₁= а₁+b₁₁, то a₁²+3b₁²=1, звідки a₁=1, b₁=0. Таким чином, дільниками 1 є z() є тільки числа 1 і -1.

Можливість розкладу числа z є z(), z0 доведемо методом математичної індукції по нормі

N(z) і якщо z0, то N (z)0.

При N(z)=1, як показано вище, z1, а за домовленістю дільники 1 мають розклади на незвідні. Припустимо, що твердження вірне для всіх чисел з нормою меншою від m, тобто припустимо, що всі числа При z, для яких N(z)m, мають розклади на незвідні числа із z().Нехай z - довільне число із z(), норма якого N(z)=m. Число z завжди можна подати у вигляді

z= z₁ z₂(z₁, z₂ є z()) /8/.

Якщо із цього подання випливає, що z₁ або z₂ – дільники 1, то за означенням z– незвідний елемент і він має тривіальний розклад на незвідні множники: z=z (=1). Якщо ні z₁ ні z₂ – не дільники 1, тобто z₁, z₂=1, то N(z₁),N( z₂)1 із представлення N(z) =N(z₁)N( z₂) випливає, що N(z₁)m іN(z₂)m. Тоді за індуктивним припущенням z₁ і z₂ можна розкласти на незвідні множники. Підставивши ці розклади у формулу /8/, одержимо розклад і для елемента z.

Таким чином, кожен елемент із кільця z() має розклад на незвідні числа, але не для деякого числа із цього кільця цей розклад однозначний. Наприклад, число 4 є z() має такі розклади:

4=22, 4=(1+і)(1-і). /9/

В цих розкладах числа 2, 1і незвідні, бо їх норма дорівнює 2, а 2 не розкладається на нетривіальні множники. Тому і числа 2, 1і не розкладаються на нетривіальні множники. Зрозуміло, що числа 2, 1+і, 2, 1-і неасоційовані, бо 2(1)(і). Отже, розклади /9/ є різними розкладами числа 4.