7.2. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

Следующие несколько терем дают свойства перпендикулярных прямой и плоскости.

Теорема 7.2. Если две пересекающиеся прямые соответственно параллельны двум перпендикулярным прямым, то они также перпендикулярны (без доказательства).

Теорема 7.3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Доказательство. Пусть и – две параллельные прямые и – плоскость, перпендикулярная прямой . Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой .

Проведем в плоскости через точку пересечения прямой с плоскостью произвольную прямую . Проведем в плоскости через точку пересечения прямой с плоскостью произвольную прямую , параллельную прямой .

Так как прямая перпендикулярна плоскости , то прямые и перпендикулярны. А по Т 7.2 параллельные им пересекающиеся прямые и тоже перпендикулярны.

Таким образом, прямая перпендикулярна любой прямой в плоскости , значит .

Теорема 7.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Доказательство. Пусть и – две прямые, перпендикулярные плоскости . Допустим, что прямые и не параллельны.

Выберем на прямой точку С, не лежащую в плоскости . Проведем через точку С прямую , параллельную прямой . Прямая перпендикулярна плоскости по Т 7.3. Пусть и – точки пересечения прямых и с плоскостью . Тогда прямая перпендикулярна пересекающимся прямым и . А это невозможно, значит пришли к противоречию.

Теорема 7.5. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и второй.

Теорема 7.6. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.