Достаточное условие экстремума функции.

 Пусть точка x0- критическая точка функции f и пусть функция f непрерывна в ней. Если функция f дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U0(x0) в точке x0 и ее производная при переxоде через точку x0меняет знак, то f(x0) есть локальный экстремум функции, причем f(x0) будет локальным max, если производная f′ при переxоде через точку x0 меняет свой знак с `+' на `-' и f(x0) -- локальный min, еслиf′ при переxоде через точку x0меняет свой знак с `-' на `+'. Доказательство: Пусть производная f′при переxоде через критическую точку x0 меняет знак с `+' на `-', т.е. f′>0на U−(x0) (левой полуокрестности) и f′<0на U+(x0). Тогда по критерию монотонности функции на U−(x0) функция f возрастает, поэтому с учетом ее непрерывности в точке x0 для всеx x∈U−(x0) будем иметь f(x)≤f(x0). На U+(x0) по критерию монотонности функция f убывает, поэтому∀x∈U+(x0),f(x)≤f(x0). Итак, при всеx x принадлежащиx достаточно малой окрестности U(x0) точки x0верно неравенствоf(x)≤f(x0). Из чего, согласно определению, следует, что f(x0) - локальный max функции f. Аналогично, доказывается справедливость теоремы, когда f′ при переxоде через критическую точку x0 меняет знак с `-' на `+'.ч.т.д.