3.2 Метод трапеций

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

.

Разобьем отрезок интегрирования [a,b] на некоторое число отрезков n одинаковой длины . Получим точкиx_k=a+kh (k=0,1,…n; x₀=a; x_n=n). При этом количество отрезков n определяется заданной погрешностью: n=n(ε).

На каждом отрезке подынтегральная функция заменяется интерполяционным членом первой степени (отрезком прямой). В итоге строится n различных трапеций.

Таким образом значение интеграла определяется как сумма площадей трапеций.

Площадь трапеций находим, применяя к каждому отрезку формулу Ньютона-Котеса первого порядка, получим:

Складывая почленно эти равенства, придем к так называемой формуле трапеций:

… … …

Оценка погрешности:

Погрешность данных методов возникает из-за погрешности, с которой интерполяционный многочлен приближает f(x).

В данном случае оценка погрешности сводится к следующему:

.