2.1 Задача интерполирования

Интерполирование – такое приближение f(x) функцией g(x), при котором значения приближающей функции не просто близки, а совпадают со значениями приближаемой функции в отдельно взятых точках x₁…x_m.

Точки Х₁-Х_m так же называют узлами интерполяции.

Если исходная функция y=f(x) представлена в виде таблицы значений:

то приближающая функция g(x) ищется в виде интерполяционного многочлена P_n(x).

При этом ;

Таким образом для каждого узла интерполяции можно записать:

При этом должно выполнятся условие единственности интерполяционного многочлена: m=n+1.

Интерполяционный многочлен можно представить в форме Лагранжа:

.

Рассмотрим остаточный член: , x ∈ [a, b]. По определению интерполяционного полинома  поэтому речь идет об оценке при значениях . Пусть имеет непрерывную (n+1) производную на отрезке [a, b]. Тогда погрешность определяется формулой: , где , - точка из [a, b]. Так как точка наизвестна, то эта формула позволяет только оценить погрешность: где  Из вида множителя следует, что оценка имеет смысл только при . Если это не так, то при интерполяции используются полиномы низких степеней (n = 1,2).