Список печатных работ а. Я. Хинчина1

1916

1. Sur une extension de I'integrale de M. Denjoy, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 162, 287–290.

1917

2. Sur. la derivationasymptotique, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris), 164, 142–145, 1918

3. О процессе интегрирования Denjoy, Матем. сб. 30, 548–557.

1921

4. Sur la theorie de l'integrale de M. Denjoy, Изв. Иваново-Вознесенского политехн. ин-та 3, 49–51.

1922

5. Новое доказательство основной теоремы метрической теории множеств, Изв. Иваново-Вознесенского политехи, ин-та 6, 39–41.

6. Об одном свойстве непрерывных дробей и его арифметических приложениях, Изв. Иваново-Вознесенского политехи, ин-та 5, 27–41.

7. К вопросу о представлении числа в виде суммы двух простых чисел, Изв. Иваново-Вознесенского политехи, ин-та 5, 42–48.

1923

8. Sur les suites des fonctions analytiques bornees dans leur ensemble. Fund Math. 4, 72–75.

9. Das Stetigkeitsaxiom des Linearkontinuus als Induktionsprinzip betrachtet, Fund. Math. 4, 164–166.

10. Ueber dyadische Rruche, Math. Zeitschr 18, 109–116.

11. Ein Satz. uber Kettenbruche mit arithmetischen Anwendungen, Math, Zeitschr. 18, 289–306.

1924

12. О последовательностях аналитических функций, Матем. сб. 31, 147–151.

13. Исследования о строении измеримых функций, гл. 1, Матем. сб. 31, 265–285.

14. Sur un theoreme general relatif aux probabilities denombrable. Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 178, 617–619.

15. Ueber einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Fund. Math. 6, 9–20.

16. Einige Satze uber Kettenbruche mit Anwendungen auf die Theorie der diophantischen Approximationen, Math. Ann., 92, 115–125.  {197} 

1925

17. Об одном вопросе теории диофантовых приближений. Изв. Иваново-Вознесенского политехи, ин-та 8, выл. 2, 32–37.

18. Zwei Bemerkungen zu einer Arbeit des Herrn Perron, Math. Zeitschr. 22, 274–284.

19. Исследования о строении измеримых функций, гл. 2, Матем. сб. 32, 377–433.

20. Ueber die angenaherte Auflosungr linearer Gleichungen in ganzen Zahlm. Матем. сб. 32, 203–219.

21. Zur Theorie der diophantischen Approximationen, Матем. сб. 32, 277–288.

22. Bemerkungen zur metrischen Theorie der Kettenbruche, Матем. сб. 32, 326–329.

23. Bemerkung zu meiner Abhandlung "Ein Satz uber Kettenbruche mit arithmetischen Anwendungen", Math. Zeitschr. 22, 316.

24. О петербургской игре, Матем. сб. 32, 330–341.

25. Ueber Konvergenz von Reihen, deren Glieder durch den Zufall bestimmt werden, Матем. сб. 32, 668–677 (совм. с А. Н. Колмогоровым).

26. Ueber die Anwendbarkeitsgrenzen des Tschebycheffschen Satzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Матем. сб. 32, 678–688. 1926.

27. Zur metrischen Theorie der diophantischen Approximationen, Math. Z. 24, 706–714.

28. Ueber das Gesetz der grossen Zahlen, Math, Ann. 96, 152–158.

29. Ueber eine Klasse linearer diophantischer Approximationen, Rend. Circ. Mat. Palermo 50, 170–195.

30. Идея интуиционизма и борьба за предмет в современной математике; Вестник Комм. Акад. 16, 184–192. 1927

31. Recherches sur la structure des fonctions mesurables, Fund. Math., 9, 212–279.

32. Ueber diophantische Approximationen hoheren Grades, Матем. сб. 34, 109–112.

33. Диофантовы приближения, Труды Всероссийского матем. съезда, 131–137.

34. Великая теорема Ферма, Госиздат, 1927; 2-е изд., М.–Л., ГТТИ, 1932, 1–52.

35. Основные законы теории вероятностей, Ассоц. ин-тов физмат. ф-та МГУ, 1927; 2-е изд., М–Л., ГТТИ, 1932, 1–82.

1928.

36. Sur la loi forte des grands nombres, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 186, 285–287.

37. Objection a une note de M. M. Barzin et Errera, Bjill. Acad. Royale de Belgique, class de Sc, 5 ser. 14, 223–224.

38. Усиленный закон больших чисел и его значение для математической статистики, Вестник статистики 29, 123–128.

39. Begrundung der Normalkorrelation nach der Lindebergschen Methode, Изв. Ассоц. научно-исследов. ин-тов МГУ 1, 37–45

40. Ueber die Stabilitat zweidimensionaler Verteilungsgesetze, Матем. сб. 35, 19–23.

41. Ueber die angenaherte Auflosung linearer Gleichungen in ganzen Zahlen, Матем. сб. 35, 31–33.  {198} 

42. Теория чисел; очерк развития за 1917–1927 гг., Матем. сб. 35, доп. выпуск, 1–4.

1929

43. Роль и характер индукции в математике, Вестн. Комм. Акад. 1, 5–7.

44. Sur la loi des grands nombres, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris), 188, 477–479.

45. Sur une generalisation des quelques formules classiques, C. R. Acad. Sci. (Paris) 188, 53,2–534.

46. Uber ein Problem der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Zeitschr. 29, 746–752.

47. Ueber die positiven und negativen Abweichungen des arithmetischen Mittels, Math. Ann. 101, 381–385.

48. Ueber einen neuen Grenzwersatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Ann. 101, 745–752.

49. Ueber Anwendbarkeitskriterien fur das Gesetz der grossen Zahien, Матем. сб. 36, 78–80.

50. Учение Мизеса о вероятностях и принципы физической статистики, УФН 9, 141–166.

1930

51. Die Maxwell-Bolzmannsche Energieverteilung als Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Труды семинара по теории вероятн. и матем. статистике при МГУ 1, 1–11.

1932

52. Sulla successioni stazionarie di eventi, Giorn. 1st. Ital. d. Attuari, Anno III, 3, 267-272.

53. Zur additiven Zahlentheorie, Матем. сб. 39 : 3, 27–34.

54. Ueber eine Ungleienung. Матем. сб. 39:3, 35–39.

55. Sur les classes d'evenements equivalents. Матем. сб. 39 : 3, 40–43

56. Remaroues sur les suites d'evenements obeissants a la loi des grands nombres, Матем. сб. 39, 115–119.

57. Математическая теория стационарной очереди, Матем. сб. 39:4, 73–84.

58. Zur Birkhdffs Losung des Ergodenproblems, Math. Ann., 107, 485–488.

1933

59. О среднем времени простоя станков. Матем. сб. 40, 119–123. 60 Ueber stazionare Reihen zufalliger Variablen. Матем. сб. 40, 124–128.

61. Ueber ein metrisches Problem der additiven Zahlentheorie. Матем. сб. 40, 180–189.

62. Zur mathematischen Bergrundung der statistischen Mechanik, Zeitschr. fur angew. Math, und Mech. 13, 101–103.

63. Детерминанты Грама для стационарных рядов, Учен. зап. МГУ, 1, 3–5 (совместно с А. О. Гельфондом).

64. The method of spectral reduction in classical dynamics, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 19, 567–573.

65. Asymptotische Geselze der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Springer, 1933; ОНТИ, 1936.

1934

66. Zur mathematischer Begrundung der Maxwell–Boltzmannschen Energieverteilung, Учен. зап. МГУ 2, 35–38.  {199} 

67. Korrelationstheorie der stationaren stochastischen Prozesse, Math Ann. 109, 604–615; УМН, вып. V, 42–51 (1938).

68. Eine Verscharfung des Poincareschen "Wiederkehrsatzes", Соmр. Math. 1, 177–179.

69. Fourierkoeffizienten langs Bahn lm Phaaenraum, Матем. сб. 41. 14–16.

70. Теория вероятностей в дореволюционной России и в Советском Союзе, Фронт науки и техники 7, 36-46.

71. Eine arithmetische Eigenschaft summierbaren Funktionen. Матем. сб. 41, 11–13.

72. Случай, и как наука с ним справляется, ОНТИ.

1935

73. Цепные дроби, ОНТИ, 1935; 2-е изд. ГТТИ, 1949, 3-е изд. Физ-матгиз, 1961; чешское изд. 1952.

74. Su una legge die grand riumeri generalizzata, Giornale 1st. Ital. Attuari 6, 371–393.

75. Metrische Kettenbruchproblem, Сотр. Math. 1, 361–382.

76. Neuer Beweis und Verallgemeinerung eines Hurwitzschen Satzes, Math. Ann. 111, 631–637.

1936

77. Zur metrischen Kettenbruchtheorie, Сотр. Math. 3, 276–285.

78. Ein Satz uber Iineare diophantische Approximationen, Math. Ann., 113, 398–415.

79. Sul dominio di attrazione della legge di Gauss, Giornale 1st, Ital. Attuari 7, 3–18.

80. Метрические задачи теории иррациональных чисел, УМН, вып. I. 7–32.

1937

81. Новый вывод одной формулы П. Леви, Бюлл. МГУ 1. вып. 1, 1–5.

82. Об арифметике законов распределения. Бюлл. МГУ 1, вып. 1, 6–17.

83. Об одном признаке для характеристических функций, Бюлл. МГУ 1 : 5, 1–3.

84. Инвариантные классы законов распределения, Бюлл. МГУ 1 : 5, 4–5.

85. Примеры случайных величин, подчиняющихся устойчивым законам распределения, Бюлл. МГУ 1 : 5, 6–9.

86. Sur les lois stables, Compt. Rend. Akad. Sci. (Paris) 202, 374–376 (совм. с Р. Levy).

87. Ueber die angenaherte Auflosung linearer Gleichungen in ganzen Zahlen, Acta Arithm. 2, 161–172.

88. Ueber singulare Zahlensysteme, Compos. Math. 4, 424–431.

89. Abschatzungen beim kroneckerschen Approximationensatz, Bull. Inst. Math Tomsk 1, 263–265.

90. Ueber Klassenkonvergenz von Verteilungsgesetzen, Bull. Inst. Math., Tomsk 1, 258–262.

91. Zur Theorie der unbeschranktteilbaren Verteilungsgesetze, Матем. сб. 2 (44), 79–119.

1938

92. Предельные законы для сумм независимых случайных величин ГОНТИ, 1-116.  {200} 

93. Две георемы о стохастических процессах с однотипными приращениями, Матем. сб. 3 (45), 577–584.

94. Zur Methode der willkurlichen Funktionen, Матем. сб. 3 (45), 585–589.

95. Об унимодальных распределениях, Изв. Томск, матем. ин-та 2, 1–7.

96. Теория затухающих спонтанных эффектов, Изв. АН, сер. матем. 3, 313–332.

97. Введение иррациональных чисел, Материалы к совещанию учителей, Наркомпрос РСФСР, 9–12; Матем. в школе, № 3, 1939, 32–34.

98. Комплексные числа (совместно с П. Я. Дорф); Материалы к совещанию учителей, Наркомпрос РСФСР, 39–47.

1939

99. О сложении последовательностей натуральных чисел, Матем. сб. 6 (48), 161–166.

100. О локальном росте однородных стохастических процессов без последействия, Изв. АН, серия матем., 487–508.

101. О преподавании математики, Молодая Гвардия 9, 142–150. Матем. в школе 6, 1–7.

102. Основные понятия математики в средней школе. Математика в школе 4, 4–22, 5, 3–10.

103. Всестороннее, реальное образование советской молодежи; Математика в школе 6, 1–7.

1940

104. Основные математические понятия и определения в средней школе, Учпедгиз, 1–51.

105. О сложении последовательностей натуральных чисел, УМН, вып. VII, 57–61, 1941

106. О математических определениях в средней школе, Матем. в школе 1 (1941), 1–10.

107. О понятии отношения двух чисел, Матем. в школе 2 (1941), 13–15

108. Об аналитических методах статистической механики, ДАН 33, 438–441.

109. Средние значения сумматорных функций в статистической механике, ДАН 33, 442–445.

110. О межмолекулярной корреляции, ДАН 33, 487–490. 1942

111. Законы распределения сумматорных функций в статистической механике, ДАН 34, 61–63.

1943

112. Sur un cas de correlation a posteriori, Матем. сб. 12 (54), 185--196.

113. Математические основания статистической механики, Гостехиздат, 1–126, США, 1950.

114. Об эргодической проблеме квантовой механики, Изв. АН, сер. матем. 7, 167–184.

115. Конвексные функции и эволюционные теоремы статистической механики, Изв. АН, сер. матем. 7, 111–122.  {201} 

116. Восемь лекций по математическому анализу. Гостехиздат; 2-е изд., 1946; 3-е изд., 1948; украинское изд., 1948; румынское изд., 1948.

1946

117. О задаче Чебышева, Изв. АН, сер. матем. 10, 281–294.

118. Элементарное введение в теорию вероятностей, Гостехиздат; 2-е изд., 1950; 3-е изд., 1952; 4-е изд., 1957; 5-е изд. 1961; польские изд., 1952, 1954; румынское изд., 1953; чешское изд., 1954; венгерское изд., 1954; немецкое изд., 1955; китайское изд., 1958; французское изд., 1960; аргентинское изд., 1960; американское изд. 1961 (совместно с Б. В. Гнеденко).

119. О формализме в школьном преподавании математики. Советская педагогика, № 11–12 (1944), 21–27, Изв. Акад. пед. наук РСФСР, № 4 (1946), 7–20.

1947

120. Три жемчужины теории чисел, Гостехиздат; 2-е изд., 1949; украинское изд,. 1949; немецкое изд., 1950; японское изд., 1956.

121. Две теоремы, связанные с задачей Чебышева, Изв. АН, сер. матем. И, 105–110.

122. Об одном предельном случае аппроксимационной теоремы Кронекера, ДАН 56, 563–565.

123. Об одной общей теореме теории линейных диофантовых приближений, ДАН 56, 679–681.

1948

124. Теорема переноса для сингулярных систем линейных уравнении, ДАН 59, 217–218.

125. К теории линейных диофантовых прибчижений, ДАН 59, 865–867.

126. Принцип Дирихле в теории диофантовых приближений, УМН III, вып. 3, 1–28.

127. Количественная концепция аппроксимационной теории Кронекера, Изв. АН, серия матем. 12, 113–122.

128. О некоторых приложениях метода добавочной переменной, УМН III, вып. 6, 188–200.

129. Регулярные системы линейных уравнений и общая задача Чебышева, Изв. АН, серия матем. 12, 249–258.

1949

130. О дробных частях линейной формы. Изв. АН, сер. матем. 13, 3-8.

131. Простейший линейный континуум, УМН IV, вып. 2, 180–197.

1950

232. Об аналитическом аппарате физической статистики, Труды Матем. ин-та им. Стеклова 33.

133. Статистическая механика как задача теории вероятностей, УМН V, вып. 3, 3–46.

134. О суммах положительных случайных величин, ДАН 71, 1037–1039.

135. Предельные теоремы для сумм положительных случайных величин, Украинск. матем. журнал 2, № 4, 3–17.  {202} 

1951

136. Математические основания квантовой статистики, Гостехиздат.

137. О некоторых общих теоремах статистической физики, Труды Матем. ин-та им. Стеклова 38, 345–365.

138. О законах распределения «чисел заполнения» в квантовой статистике, ДАН 78, 461–463.

1952

139. О классах эквивалентных событий, ДАН 85, 713–714.

140. Элементы теории чисел. Энциклопедия элементарной математики, т. 1, 255–353.

141. Метод произвольных функций и борьба против идеализма в теории вероятностей, Сб. «Философские вопросы современной физики», изд. АН, 522–538; французский перевод: Questions scientifiques, V. Paris, Editions de la nouvelle critique, v.l, 7–24, 1954.

142. Советская школа теории вероятностей, Китайский математический журнал, 1–7.

1953

143. Понятие энтропии в теории вероятностей, УМН VIII, вып 3, 3–20; румынское изд., 1955.

144. Краткий курс математического анализа, Гостехиздат; китайское изд., 1955.

145. Андрей Николаевич Колмогоров (к пятидесятилетию со дня рождения), УМН VIII, вып. 3, 177–200 (совместно с П. С.Александровым).

1955

146. Математические методы теории массового обслуживания, Труды Матем. ин-та им. Стеклова 49, 1–123; китайское изд., 1958; английское изд., 1960.

147. Симметрические функции на многомерных поверхностях, Сб. памяти А. А. Андронова, М., 541–574.

1956

148. Потоки случайных событий без последействия. Теор. вероятн. и ее прим. 1, 3–18.

149. О пуассоновских потоках случайных событий. Теория вероятн. и ее прим. 1, 320–327.

150. Об основных теоремах теории информации, УМН XI, вып. 1, 17–75.

1959

151. Первое знакомство с теорией вероятностей, Детская энциклопедия, т. 3, Изд. АПН РСФСР, 211–220 (совм. с А. М. Ягломом).

1961

152. Частотная теория Мизеса и современные идеи теории вероятностей, Вопросы философии, № 1, 92–102; № 2, 77–89.

153. О воспитательном эффекте уроков математики, Математическое просвещение, вып. 6, 7–28; Математика в школе 3, 1962, 30–44.

154. О так называемых «задачах на соображение» в курсе арифметики, Математическое просвещение, вып. 6, 29–36.

1962

155. О формулах Эрланга в теории массового обслуживания, Теория вероятн. и ее примен. 7, вып. 3, 330–335.

¹ «Известия Академии педагогических наук РСФСР», вып. 6, М—Л., Изд-во АПН РСФСР, 1946, стр. 5.

² Там же, стр. 5.

¹ Речь идет о Кабинете математики Института методов обучения (ныне Сектор математики Института общего и политехнического образования АПН РСФСР). — Б. Г.

² «Известия Академии педагогических наук РСФСР», дта М.—Л., Изд-во АПН РСФСР, 1946, стр. 5—6.

¹ А. Я. Хинчин, О понятии отношения двух чисел, «Математика в школе», М., Учпедгиз, 1941, № 2, стр. 14.

¹ Е. С. Douglas, F. Моstellеr, R. S. Pieters, D. E. Riсhmоnd, R. E. Rоurkе, G. В. Тhоmas, S. S. Wilks.

Introductory Probability and Statistical Inference. An experimental course. Revised preliminery edition, prepared for the Comission in Mathematics, College Entrance Examination Board, New York, 1959. Teacher's Notes and Answer Guide (Supplementary material for the revised preliminary edition of „Introductory Probability and Statistical Inference"), New York, 1959.

¹ Под названием «О преподавании математики» статья напечатана в журн. «Молодая гвардия», 1939, № 9, стр. 142—150 и под названием «Всестороннее, реальное образование советской молодежи» в журн. «Математика в школе», 1939, № 6, стр, 1—7.

¹ Эта статья была напечатана в жури. «Математика в школе», 1939, № 4, стр. 4—22, и № 5, стр. 3—10; в 1940 г. была издана отдельной брошюрой Учпедгизом в серии «Библиотека учителя» под названием «Основные понятия математики и математические определения в средней школе». Брошюра должна была содержать также главу «Математические определения в средней школе», однако редакция, оставив эту главу в наименовании брошюры, не напечатала ее. Позднее указанная глава появилась в журд. «Математика в школе», 1941, № 1, стр. 1—10. — Б.Г.

¹ Ретроспективный — обращенный к прошлому. — Б. Г.

¹ Гипостазировать, т. е. приписывать отвлеченным понятиям самостоятельное бытие. — Б. Г.

¹ Эфемерные — скоропроходящие, мимолетные. — Б. Г.

² Замечания А. Я. Хинчина об абсолютной величине числа в значительной мере сейчас уже потеряли свою актуальность, поскольку в учебниках понятие абсолютной величины излагается грамотно. — Б. Г.

³ Коррелет — в данном случае — противоположный.— Б. Г.

¹ Номинализм — направление средневековой схоластической философии, согласно которой общим понятиям в реальном мире ничто не соответствует; они являются лишь наименованиями для ряда единичных предметов. — Б. Г.

² Идентификация — отождествление; уподобление. — Б. Г.

¹ Это предложение А. Я. Хинчина принято и вошло в объяснительную записку к программе. См., например, «Программы средней школы на 1962/63 учебный год». Математика. М., Учпедгиз, 1962, стр. 9.— Б. Г.

¹ В учебниках математического анализа теперь принято давать такое определение предела последовательности: «Величина а_n стремится к пределу а, если как бы мало ни было число ε > 0, существует такое натуральное числю n_ε, что для любою n > n_ε выполняется неравенство |а_n — а| < ε». — Б. Г.

¹ Следует, однако, указать, что имеется «полная возможность ограничиться в курсе средней школы более узкой концепцией предела, совершенно исключив из рассмотрения вторую из вышеприведенных разновидностей; дело в том, что во всех применениях, какие встречает понятие предельного перехода на протяжении курса средней школы, речь всегда идет о пределе последовательности; так обстоит дело в теории бесконечных десятичных дробей, в теории иррациональных чисел, при изучении прогрессий и во всех геометрических приложениях. Что касается понятия предела, функции, то оно может встретиться только в таких разделах исследования уравнений и учения о функциональной зависимости, которые лишь в порядке редкого исключения изучаются в нашей средней школе.

¹ Л. Дирихле (1805—1859) — выдающийся немецкий математик. — Б. Г.

¹ Разумеется, в нашем изложении ситуация несколько систематизирована, на самом деле развитие теории функций комплексного переменного также сыграло немалую роль в описываемом процессе; однако все наши педагогические выводы этим нисколько не затрагиваются.

¹ «Математика в школе», 1941, № 1, стр. 1—10

¹ Учебник А. П. Киселева до Великой Отечественной войны был стабильным. — Б. Г.

¹ Редукция — приведение к более простому случаю.— Б. Г.

² Альтернатива — предоставление выбора из двух взаимно исключающих возможностей. — Б. Г.

¹ Апеллировать — обращаться к какому-либо авторитету.— Б. Г.

¹ Пеано (1858—1932) — итальянский математик; система аксиом арифметики представлена в 1889 г. — Б. Г.

¹ Ингредиент — составная часть. — Б. Г.

¹ «Известия Академии педагогических наук РСФСР», вып. 4, 1946, стр. 7—20; («Советская педагогика», 1944, № 11—12, стр. 21—27.

¹ Дефинитивные — в данном случае — определяющие. — Б. Г.

¹ Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, М., Госполитиздат, 1948, стр. 37. 114

¹ Хорошо было бы, по нашему мнению, в программу вместо этой формулы (или хотя бы наряду с ней) ввести элементы теории вероятностей — живой, с формальной стороны предельно простой материал, являющий собой гораздо более убедительное применение формул комбинаторики и вместе с тем допускающий сколько угодно прямых практических иллюстраций.

¹ П. Обер и Г. Папелье, Упражнения по элементарной алгебре, пер. с французского Е. С. Березанской и А. О. Зинголь, М., Учпедгиз, 1940 (на обложке год издания 1941). 584 стр. — В. Г.

¹ В ту пору, когда писалась эта статья, было обязательное семилетнее образование. — Б. Г.

² В программу восьмилетней школы эти разделы включены. — Б. Г.

¹ Сборник «Математическое просвещение» № 6, стр. 7—28, М., Физматгиз, 1961, а также «Математика в школе», 1962, № 3, стр. 30—44.

¹ Дизъюнкция — разделение. — Б. Г.

¹ Педалирование в данном случае означает подчеркивание, нажим. — В. Г.

¹ В новых программах это пожелание до некоторой степени учтено. — Б. Г.

² К сожалению, эта статья так и не была написана. — Б. Г.

¹ Дискредитировать — подрывать доверие. — Б. Г.

¹ Одиозный — нежелательный, неприемлемый, вызывающий к себе отрицательное отношение. — Б. Г.

² Одиум — нежелательность, неприемлемость. — Б. Г.

¹ Деградация — упадок, процесс понижения чего-либо в сторону ухудшения. — Б. Г.

¹ Дефинитивно — с полной определенностью. — Б. Г.

¹ Импозантен — внушителен. — Б. Г.

¹ Аппроксимация — приближение. — Б. Г.

¹ Сборник «Математическое просвещение», вып. 6, 1961, стр. 29—36, М., Физматгиз.

Эта работа А. Я. Хинчина, как мне известно, при жизни автора нигде не была напечатана. Мне удалось найти ее при разборе одной из папок с бумагами покойного. Рукопись тщательно переписана карандашом ка тетрадочной бумаге. Поскольку эти вопросы интересовали Хинчина в 1938—1939 гг. и на эти темы он тогда часто со мной беседовал, можно считать достаточно определенным, что именно в этот период предлагаемая статья и была написана. — Б. Г.

¹ Е. С. Березанская обратила мое внимание на то, что опытный учитель дальше будет решать иначе, чем Александр Яковлевич, используя метод «разбиения на части». При этом рассуждения будут такими: «Итак, возраст отца составляет 9 частей, а сына — 4 части. Отец старше сына на 5 частей. На эти 5 частей приходится 25. лет. Значит, каждая часть составляет 5 лет. Отсюда — возраст отца (5 × 9) 45 лет, возраст сына (5 × 4) 20 лет. Очевидно, что по своему существу и этот прием является алгебраическим. — Б. Г.

¹ Софистика — словесные ухищрения, вводящие в заблуждение. — Б. Г.

¹ Е. С. Березанская предложила иной ход рассуждений: по условию задачи первые два слагаемые дадут один и тот же результат (который мы назовем «паем», если к первому из них прибавить 0,5, а от второго отнять 1,5). Третье слагаемое по условию в 2,5 раза меньше одного пая и, значит, равно ²/₅ пая. Таким образом,

Эта сумма на единицу меньше, чем сумма первоначальных чисел, т. е. равна 21. Отсюда — один пай равен 8,75. Искомые числа равны

Нет нужды говорить, что и в этом несколько более простом рассуждении фактически также вводится неизвестное — пай. Весь ход рассуждений отличается от алгебраического только тем, что вместо символических обозначений мы пользуемся словесными и тем самым усложняем рассуждения. — Б. Г.

¹ Я знаю, что эта статья А. Я. Хинчина вызовет мною возражений и что будет сказано много слов о недооценке задач арифметического характера для развития математического мышления. Чтобы избежать недоразумений, нужно заявить сразу, что Александр Яковлевич не был никогда противником арифметики и не был противником развития сообразительности. Но он был всегда ярым противником бессмысленного усложнения рассуждений, подмены математического языка (обозначения неизвестной какой-либо буквой) усложненными словесными ухищрениями. Мои личные наблюдения над школьниками первых шести классов убедили меня в том, что детям куда проще освоиться с буквенным обозначением неизвестного, чем с запутанными зачастую представлениями о «частях», «паях», фактически лишь подменяющими собой введение буквенных обозначений для неизвестных. — Б. Г.

¹ [мута́тис мута́ндис] — внося соответствующие изменения. — Б. Г.

¹ А. Я. Хинчин рассматривает процесс «как ряд последовательных значений некоторой «основной» переменной величины; эта величина либо имеет своими значениями натуральные числа (т. е. меняется скачкообразно и непрестанно возрастает), либо изменяется непрерывно, проходя через промежуточные значения; в последнем случае она может либо непрестанно возрастать, либо непрестанно убывать...»

¹ P. Erdös, On the law of the iterated logarithm, Ann. of Math, 43, 419—436, 1942.

² W. Feller, The general form of the so-called law of the iterated logarithm, Trans. Amer. Math. Soc. 54, N 3, 373—402, 1943.

³ I. Petrowsky, Zur ersten Randwertaufgabe der Warmeleitungsgleichung, Compos. Math. 1. 383—419, 1935.

¹ Если не считать работы [155].— Б. Г.

¹ М. В. Бебутов погиб в 1941 г. на франте; В. Дёблин был повешен гитлеровцами 22.VI 1940 г. за вооруженную борьбу с гитлеризмом.

¹ В сборнике «Математика в СССР за сорок лет» сверх этого списка указаны под номерами (108), (113), (115), (132), (142) резюме докладов в Московском математическом обществе, содержание которых вошло в последующие более полные публикации, и работа (1933) «Теория вероятностей», Сборник «Математика в СССР за 15 лет», М.—Л., (1933).