36. Гіпербола . Вивід канонічного рівняня гіперболи, ексцентриситет , директриси та асимптоти гіперболи. Найпростіші властивості гіперболи

Властивість 1. Гіпербола має щонайменше дві осі симетрії і центр симетрії.

Властивість 2. Гіпербола перетинає одну з осей симетрії в двох точках, які називаються вершинами; з другою віссю симетрії гіпербола не перетинається.

Властивість 3. Гіпербола має асимптоти, тобто прямі, до яких гіпербола необмежено наближається.

Канонічне рівняння гіперболи.

Гіпербола є невиродженою кривою другого порядку, яка задається рівнянням

Нехай канонічне рівняння кривої другого порядку шляхом переносу центру координат перетворено у вигляд:

В цьому випадку крива проходить через початок координат нової системи; вісь абсцис є віссю симетрії кривої. Це рівняння відображає той факт, що невироджена крива другого порядку є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких (ексцентриситет) від заданої точки (фокуса) та від заданої прямої (директриса) незмінна. Крива є гіперболою, якщо Директоріальна властивість гіперболи полягає в тому, що гіпербола є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких від фокуса до одноіменної директриси дорівнює .

Ексцентриситет (позначається лат. e або грец. ε) — числова характеристика конічного перерізу, яка показує ступінь його відхилення від кола

Параметр  називається ексцентриситетом. Він характеризує форму гіперболи.

Асимпто́та криво́ї (грец. ασυμπτωτος — що не збігається, не дотикається) — це пряма, до якої крива при видаленні в нескінченність наближається як завгодно близько.

Якщо крива, задана рівнянням y = f(x), віддаляється в нескінченність при наближення x до скінченної точки a, то пряма x = a називається вертикальною асимптотою цієї кривої.

Крім вертикальної асимптоти x = 0 гіпербола y = 1/x має ще й горизонтальну асимптоту у = 0, як і графік функції у = е^-x sin(х), проте він, на відміну від гіперболи, перетинає свою горизонтальну асимптоту нескінченну кількість раз (+графік).