Ортонормированные базисы функций
Идея и практическая значимость
Функции, описывающие физическую систему, разлагаем по ортонормированному базису, то есть по множеству взаимно перпендикулярных функций единичной величины. В результате упрощается решение физических и технических задач, результаты получают наглядный физический смысл.
Разделы дисциплины
Преобразование Фурье – разложение по базису гармонических функций.
Сингулярные функции:
дельта-функция,
гребенчатая функция,
функция Хевисайда,
функция знака,
прямоугольная функция,
функция sinc,
треугольная функция.
Гамма- и бета-функции Эйлера.
Дифференциальные уравнения второго порядка, решениями которых являются базисы функций.
Базисы, образованные классическими ортогональными полиномами:
Эрмита,
Лагерра,
Лежандра,
Чебышева.
Сферические функции.
Функции Бесселя.
Функция Грина.
Дифференциальные уравнения с частными производными.
Материал дисциплины применяется в курсах:
Специальные главы физики,
Квантовая механика,
Физика конденсированного состояния,
и в других теоретических дисциплинах.
Контрольные мероприятия
Индивидуальные задания 1, 2, 3 (4-ая, 9-ая, 14-ая недели).
Коллоквиум по теории в конце семестра.
Экзамен для группы РНТ1; дифф. зачет для групп РМС7, РЭН2, РП4.
Вопросы коллоквиума
Преобразование Фурье прямое и обратное. Свертка. Теоремы о свертке и об умножении функций. Теорема о частотной полосе.
Дельта-функция. Определение и интегральное представление. Выражение для сложного аргумента. Фурье-образ.
Прямоугольная функция и ее Фурье-образ.
Гамма-функция. Определение, график, рекуррентное соотношение. Значения: Г(1/2), Г(1), Г(2), Г(n + 1). Формула Стирлинга.
Функция гармонического осциллятора. Уравнение и решение. Условие ортонормированности. Уровни энергии осциллятора.
Сферическая функция. Определение, квантовые числа. Зависимость функции от углов и . Условие ортонормированности.
Функция Бесселя первого рода. Уравнение. Условия нормировки. Поведение при x 0 и x . Условие ортонормированности на интервале (0, ∞).
- Методы математической физики
- Краснопевцев Евгений Александрович
- Ортонормированные базисы функций
- Рейтинговая аттестация по дисциплине с экзаменом
- Рейтинговая аттестация по дисциплине с зачетом
- Необходимые базовые знания
- ВекторнОе пространствО
- Гильбертово пространство с дискретным базисом
- Гильбертово пространство с непрерывным базисом
- Преобразование фурье
- Оптическое преобразование Фурье
- Теоремы Фурье Линейность преобразования
- Инверсия аргумента
- Теорема о частотной полосе
- Смещение аргумента
- Фазовый сдвиг
- Комплексное сопряжение
- Теорема Парсеваля
- Обобщенная теорема Парсеваля
- Ортонормированность базиса и его фурье-образа
- Интегральная теорема
- Теорема о парах функций
- Свертка функций
- Теорема о свертке
- Разложение в ряд Фурье комплексной периодической функции
- Фурье-образ периодической функции
- Теорема о дифференцировании
- Разложение в ряд Фурье вещественной периодической функции