Свойства аналитической функции:
1.Если функция F(z) является аналитической в области Д, то она непрерывна в этой области.
2.Если f1(z) и f2(z) являются аналитическими в области Д, то их сумма является также аналитической функцией в области Д, а функция ϕ(z)= является аналитической везде, где f2(z)≠0.
3. Если w=f(z) является аналитической функцией в области Д, причём в области её значений на плоскости w определяется аналитической функцией s=ϕ(w), то функция F(z)=ϕ[f(z)] является аналитической функцией комплексной переменной.
4.Если w=f(z) является аналитической функцией в области Д, причём |f’(z)|≠0 в окрестности некоторой точки ϵД, то в окрестности точки область значений f(z) определяет обратная функция z=ϕ(w). Является аналитической функцией комплексной переменной w. При этом имеет место соотношение: f’(
Рассмотрим геометрический смысл производной функции W. W=f(z)
Пусть ɣ1 ; ɣ2 , если ϕ – угол между ɣ1 и ɣ2 в точке , то ϕ – также угол между и в точке W0. Сохраняя не только абсолютную величину угла, но и его направление.
Определение: Отображаемой окрестностью в точке на окрестность точки W0 осуществляется аналитической функцией W=f(z) и обладает в точке свойством сохранения углов и постоянством растяжений называется комфортным отображением.
Так как определение производной комплексной функции аналогично определению производной функции действительной переменной то сохраняя формулы дифференцирования получим
(az+b)’=a
(z2)=2z (1.8)
( )= -
Так же производную можно вычислить по следующим формулам:
f’(z)=ux(x,y)+ivx(x,y)=vy(x,y)+ivx(x,y)=ux(x,y)-iuy(x,y)=vy(x,y)-iuy(x,y) (1.9)
- Непрерывность и дифференцируемость комплексных переменных
- П1.1 Предел последовательности комплексных чисел.
- Свойства аналитической функции:
- Тема 2: Интегрируемые теоремы. Интегральная форма
- Свойства интегралов:
- Тема: Оценка интеграла.
- Свойства непрерывных функций:
- Доказательство:
- Доказательство:
- Доказательство:
- П(7.1) Локальные свойства отображения регулярных функций
- Теорема Лема Шварца
- П. (7.2) Общие свойства конформных отображений
- Преобразование Лапласа.
- Свойства преобразований Лапласа:
- 9) Изображение свёртки.
- Метрические и топологические пространства.
- Мера, интеграл Лебега