Доказательство:

Если f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

Т.к. f(z) имеет непрерывную производную в области D, то частная производная первого прядка функций u и v неприрывны в области D и выполняется условие Коши-Римана:

Ч.т.д.

В силу теоремы (2.3)

Т(2.4)(интегральная теорема Коши):

Пусть функция f(z) дифференцируема в односвязной области D, тогда интеграл от f(z) по любой замкнутой кривой ɣ лежит в области D=0;

Замечание: Функция f(z)= дифференцируема в кольце 0<|z|<2;

Это пример показывает, что требование односвязной области теоремы Коши существенно.

Следствие(1):

*Если функция f(z) дифференцируема в односвязной области D, то интеграл от f(z) не зависит от пути интегрирования.

*Если кривые лежат в области D имеют общее начало и конец, то интеграл

Это значит, что кривую ɣ можно деформировать в область D оставляя концы неподвижными при этом интеграл не меняется.

Определение: Такие кривые называются гамматопными, когда одну из них можно получить неприрывной деформацией другой.

Т(2.5) Если функция f(z) дифференцируема в области D, а кривые голомофобны в области D, то Область D может быть не односвязной.

Определение: Кривая называется гладкой, если её уравнение можно записать в виде:

z=δ(t), α≤t≤β, где δ’(t), tϵ[α,β], δ’(t)≠0. Причём если α=β, то δ’(α)≠δ’(β);

Определение: Кривая называется кусочногладкой, если её можно разбить на конесное число гладких кривых.

Теорема Коши остаётся в силе, когда кривая ɣ является границей в области D.

Т(2.6) Пусть D ограниченная односвязная область кусочногладкой границы ɣ и пусть функция f(z) дифференцируема в области D и неприрывна вплоть до её границы, тогда:

Следствие(2): Пусть граница ɣ многосвязной области D состоит из замкнутой кусочногладкой кривой и попарно не пересекающей замкнутой кусочногладкой кривой расположенной внутри . И пусть функция f(z) дифференцируема в области Dнеприрывна вплоть до её границы, тогда:

Кривые ориентированы так, что при обходе каждый из этих кривых области D остаётся слева, такое направление обхода называется положительным.

Определение: Пусть функция f(z) определена в области D, дифференцируема в этой области, а функция F(z) дифференцируема, если:F’(z)=f(z), zϵD, то F(z) первообразная функции f(z) в области D.

Т(2.7) Пусть функция f(z) дифференцируема в односвязной области D, то она имеет в этой области- первообразную. (2.15)

Если F(z) первообразная f(z)+C, также будет первообразной f(z) справедлива о обратное.

Т(2.7) Совокупность всех первообразных в области D определяется формулой: (z)+C, где какая-нибудь первообразная f(z), а С- произвольная константа.