Метрические и топологические пространства.

П(9.1) Метрические пространства.

Определение: Многие фундаментальные факты анализа опираются только на расстояние между числами, а не на их алгебраическую структуру.

Определение: Метрическим пространством называется пара (x,ρ) состоящая из некоторого множества пространства х-элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной неотрицательной действительной функцией ρ(x,y) определённой для любых х и у из множества Х и подчинённой следующим аксиомам:

1. ρ(x,y)=0 ↔ x=y

2. ρ(x,y)=ρ(y,x) аксиома симметрии

3. ρ(x,z)≤ ρ(x,y)+ ρ(y,z) аксиома треугольника

Если нет недоразумений будем означать пространство (х,ρ)→х, помня при этом, что есть метрика ρ.

Пример: Множество упорядоченных наборов из n действительных чисел х=(х….. ) c расстоянием ρ(x,y) = (9.1) называется n-мерным арифметическим Евклидовым пространством

Пусть Х и У метрические пространства ℓ: Х→У отображение. Для любого хϵХ, f(x)ϵY

Определение: Отображение f – называется непрерывным в точке ϵх , если для любого существует σ>0 что для всех хϵХ таких что: ρ(x, )<σ, следует

ρ расстояние в х, ρ1-расстояние в У

Если отображение f непрерывно при всех х∊Х, то она называется непрерывным на Х.

Определение: Открытым шаром В( ) в метрическом пространстве R ( ) мы будем называть совокупность точек , удовлетворяющих условию: ρ(x, )<r при этом точка -центр этого шара, а число r-его радиусом.

Определение: Замкнутым шаром В( ) мы назовём совокупность точек , удовлетворяющих условию ρ(x, )≤r

Определение: Открытый шар B( ) называется окрестностью точки обозначают также B( ) =

Множество МϵR называется ограниченным, если оно содержится целиком в некотором шаре.

Определение: Точка хϵR называется точкой прикосновения множества МϵR, если любая её окрестность содержит хотя бы одну точку из М.

Определение: Совокупность всех точек прикосновения для множества М называется замыканием множества М и обозначается [M].

Т(9.1) Операция замыкания обладает следующими свойствами:

1. М<[M].

2. [[М]]= [M].

3. Если М1ϵМ2 следовательно[M1]ϵ [M2].

Определение: Точка хϵR называется предельной точкой МϵR, если любая её окрестность содержит бесконечно много точек из М.

Определение: Последовательность { } сходится к х, если =0

Т.(9.2) Для того, чтобы точка х была точкой прикосновения множества М необходимо и достаточно чтобы существовала последовательность { } точек из М, сходящихся к х (существует { }→x) ϵМ.

Определение: Множество А называется плотным в В, если [A]ϵB

Определение: Множество М, лежащее в метрическом пространстве R называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием.

Т(9.3)Пересечение любого числа и сумма любого числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Определение: Точка х называется внутренней точкой множества М, если существует окрестность О (х) этой точки целиком содержащейся в М.

Определение: Множество, у которого все точки внутренние называется открытым.

Т.(9.4) Для того, чтобы множество М было открыто необходимо и достаточно чтобы его дополнение до всего пространства R было замкнуто.

Дополнение: (- - замкнутое пространство.

Т.(9.5) Сумма любого конечного или бесконечного числа и пересечение любого числа(конечного) открытых множеств есть открытое множество.

П.(9.2) Топологические пространства.

Можно на некотором пространстве R не вводить расстояние, а просто объявить некоторые множества открытыми, а некоторые замкнутыми.

Определение: Пусть Х-некоторое множество, топологией х называется любая система его полу множеств, удовлетворяющих 2-м требованиям:

1.Само множество Х, ф

2.Сумма по любого конечного или бесконечного и пересечения любого к любого конечного числа множеств из принадлежащих т.е. к .

Определение: Множество Х заданной в нём топологии в , т.е. пара (х, ) называется топологическим пространством.

Множество принадлежащее системе называется открытым.

Определение: Окрестностью точки х из Т называется открытое множество , содержащее точку х, х .Точка х из Т называется точкой прикосновения множества М леж. в Т, если каждая окрестность точки х, содержит хотя бы одну точку из М.

Определение: Совокупность всех точек прикосновения множества М называется замыканием множества М и обозначается [М].

Определение: Свойство L открытых полу множеств называется базой топологии пространства Т, если всякое открытое множество в Т может быть представлена как сумма некоторого числа конкретного или бесконечному множеству из L.

Свойство базы L:

1.Любые точки х из пространства Х содержатся хотя бы в GϵL

2.Если х содержится в пересечении 2-х множеств G1,G2 ϵL, то существует G3ϵL, что хϵG3ϵG G2

Т.(9.2) Для того, чтобы система Lϵτ была базой для данной топологии τ необходимо и достаточно следующее условие:

3.Для каждого открытого множества G и каждой точки х из G существует такое Gх ϵ L , что хϵGхϵG

Определение: Пусть Х и У два топологических пространства, отображение f: Х→У называется непрерывным в точке , если для любой окрестности в точке найдётся такая окрестность в точке , что f( )ϵ

Т.(9.7) Для того, чтобы отображение F топологического пространства Х в топологическое пространство У было непрерывным необходимо и достаточно, чтобы преобразование F= всякого открытого множества GϵУ было открыто в Х.

П.(9.3) Обобщённые функции.

При некоторых физических задачах понятие функций как правило ставящего в соответствие каждому х некоторое значение y=f(x) не достаточно. Например, по прямой задаётся распределение масс. Если некоторая точка имеет положительную массу, то плотность такого распределения не может быть задана обычной функцией. Пусть f-фиксир., интегрируемая функция на прямой fϵL. -неприрывная функция, С[a,b], превращается в нуль вне некоторого интервала. Такие функции называются финитами. Каждой сопоставим число (f, ) = (9.2)Т.о. задан некий функционал на множестве финитных функций, но можно рассматривать другой линейный функционал, не задаваемый в виде (9.2). Так мы приходим к понятию обобщённых функций.

Рассмотрим прямую совокупность к всех финитных функций имеющих непрерывные производные всех порядков.

Определение: Последовательность { } элементов из к называются сходящимися к функции , если :

1.Существует интервал, где все =0

2. Последовательность производных, сходятся на этом интервале равномерно, → ^(п)ϵ ⁽ⁿ⁾

Линейное пространство к называется основным пространством, а его элементы основными функциями.

Определение: Обобщённые функции на (-∞;+∞) называется непрерывный факториал Т( )

на основном пространстве к. При этом непрерывность факториала понимается в том смысле, что Т( _к) сходится к Т( ):Т( _n)→ɣ( ), если _{к→ .}

Каждая интегрируемая функция F задаёт факториал: Тf( ):

Определение: Такие обобщённые функции называются регулярными (9.3), а функции не представленные в виде (9.3) называются ингумерными.

Определение: Последовательность обобщённых функций { называется сходящейся к f: { →f, если для любых φϵ k :

Определение: Если α- бесконечно дифференцируемая функция, то положим, что: αf:(αf,φ)=(f,αφ)

Определение: обобщение функции Т называется факториал, dx определяется формулой:

Свойства:

1)Всякая обобщённая функция имеет производные всех порядков.

2)Если последовательность обобщённых функций { сходится к общей функции f, то последовательность производных { сходится к производной f’ последовательных функций.

3)Всякий сходящийся ряд из общих функций можно дифференцировать почленно любое число раз.

П(9.4) Гильбертово пространство.

Рассмотрим бесконечномерное пространство, в котором есть счётное всюду плотное пространство.

Определение: Метрическое пространство (x,ρ) называется полным, если для любой последовательности Коши { имеет предел

Определение: Полное Евклидово пространство бесконечного числа измерений называется Гильбертово пространство т.е. множество к- называется гильбертовым пространством если:

1. Н –есть евклидово пространство.

2. Пространство можно представить в смысле метрики: ρ(f,g)=||f-g||

3. Пространство H бесконечномерно, т.е. для любых n в нём можно найти n-мерно-независимых векторов.

4. Н- сепарабельно, т.е. в нём существует всюду плотное множество.

Обозначим через метрическое пространство с последовательности ( , таких что: . Рассмотрим в нём определение формулой: ρ(x,y)= (9.5)

Определение: Два евклидовых пространства R, -называются изолированными, если есть взаимно-однозначное соответствие между их элементами: такое что, если x⇒ . y,xϵR, ; x+y↔ ; αx↔α

Т(9.8) Любые два сепарабельных Гильбертовых пространства изолированы между собой.