Тема 2: Интегрируемые теоремы. Интегральная форма

П2.1 Интеграл функций комплексной переменной

Пусть на кривой g определяется комплекснозначная функция f(z). Разобьём её на дуги ɣ₁, ɣ₂,…,ɣ_n точками z₁, z₂, …, z_n и т. д. временными по направлению движения кривой ɣ – начало кривой, z_n – ее конец. На каждой дуге ɣ_k выберем точку ξ_k из ɣ_k и составим интегральную сумму:

(2.1)

l=max

1≤k≤n, где -длинна дуги , если существует предел при , выражение (2.1), то он называется интегралом от функции f(z) по кривой ɣ т.е. (2.2)

Пусть z=x+iy, f(z)=u(x;y)+iv(x;y), тогда интеграл (2.2) можно записать в виде: (2.3)

Значит существует интеграл равносильно существованию 2-х криволинейный интеграл от действительных функций и ,если кривая ɣ задаётся уравнением z=δ(t)=ξ(t)+iη(t) tϵ[α,β], то в формуле (2.3)

Из этого следует, что: = (2.4)

Интеграл зависит только от начала и конца кривой ɣ и не зависит от пути интегрирования, поэтому т.е интеграл по любой замкнутой кривой равен нулю.