§2. Касательная плоскость к поверхности, заданной параметрически
Напомним, что направляющий вектор касательной к линии
имеет вид . Здесь – значение параметра, которое соответствует точке касания.
Далее, касательная линия к поверхности – это касательная к линии, лежащей на поверхности, а касательная плоскость – это плоскость, в которой лежат все касательные прямые (Подробно обо всём этом смотри «Математический анализ, ч.1», тема «Функции нескольких переменных», §8 и §9).
Что касается нормального вектора касательной плоскости к поверхности
можно рассуждать таким образом. Через точку проходят две координатные линии: и . Их векторные уравнения:
Направляющие векторы касательных к этим линиям и соответственно. Векторное произведение этих векторов
можно взять в качестве нормального вектора касательной плоскости. Зная точку касания , криволинейные координаты которой , и нормальный вектор , нетрудно написать уравнение касательной плоскости
Можно написать готовую формулу касательной плоскости (без вычисления вектора ), если воспользоваться общим приёмом. Берём текущую точку касательной плоскости и рассматриваем три вектора: , и . Они компланарны и, следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Отсюда получаем уравнение касательной плоскости
Здесь производные функций вычисляются при значениях параметров и , которые соответствуют точке касания .
Пример. Составить уравнения касательной плоскости к винтовой поверхности
в токе , криволинейные координаты которой .
Решение. Находим частные производные функций и подставляем в соответствующую формулу:
.
Разлагаем определитель по 1й строке:
.
Оставим в левой части уравнения только члены, содержащие текущие координаты и разделим обе части уравнения на :
- Тема поверхностные интегралы
- §1. Параметрическое задание поверхности
- §2. Касательная плоскость к поверхности, заданной параметрически
- §3. Площадь поверхности, заданной параметрически
- §4. Поверхностный интеграл 1го рода
- I Определение
- II Свойства
- III Смысл
- IV Вычисление
- §5. Поверхностный интеграл 2го рода
- I Сторона поверхности
- II Определение поверхностного интеграла 2го рода
- III Вычисление поверхностного интеграла 2го рода
- IV Формула Стокса
- V Формула Остроградского-Гаусса
- Список рекомендованной литературы
- Приложения а. Теоретические вопросы к модульным контролям
- В. Образец практической части билета мк-1
- С. Образец практической части билета мк-2