32 . Кут між прямими . Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих у просторі. .

Дві прямі, що перетинаються, утворюють суміжні та вертикальні кути. Кутова міра меншого із суміжних кутів називається кутом між прямими. Кут між перпендикулярними прямими дорівнює за означенням. Кут між паралельними прямими вважаємо таким, що дорівнює нулю. Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються й паралельні даним мимобіжним прямим. Цей кут не залежить від вибору прямих, що перетинаються. Мимобіжні прямі, кут між якими дорівнює , теж називаються перпендикулярними. Отже, якщо пряма перпендикулярна до площини, то вона перпендикулярна до будь-якої прямої на цій площині. Теорема. Будь-яка пряма на площині перпендикулярна до проекції похилої на цю площину тоді й тільки тоді, коли ця пряма перпендикулярна до самої похилої. (У такому вигляді часто використовують теорему про три перпендикуляри.) Приклади 1) На рисунку ABCDA1B1C1D1 — куб. а) Кут між і DС — ; б) кут між і — ; в) кут між і — ; г) кут між і — ( — рівносторонній).

Дві прямі в просторі перпендикулярні між собою, якщо вони відповідно паралельні деяким іншим двом прямим, котрі знаходяться в цьому просторі і перпендикулярні між собою.

1.Дві паралельні прямі в просторі лежать в одній площині.

2.При перетині двох паралельних прямих третьою, т. зв. січною:

1. Січна обов'язково перетинає обидві прямі.

2. При перетині утворюється 8 кутів, при чому деякі характерні їх пари мають особливі назви та властивості:

   1. Перехресні кути рівні.

   2. Відповідні кути рівні.

   3. Односторонні кути в сумі становлять 180°.

   4. І, очевидно, суміжні кути в сумі становлять 180°, а вертикальні — рівні.

33.Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини.

Кутом між прямою та площиною називається кут між цією прямою і її проекцію (ортогональною) на площину. Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між нею й площиною вважається таким, що дорівнює , а між паралельними прямою та площиною таким, що дорівнює . Кут між прямою та площиною і кут між цією прямою й перпендикуляром до площини в сумі дорівнюють . Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій. Зверніть увагу: паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею.

Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній). Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму .Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. 

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині і проходить через точку перетину.