Лекции_по_ДМ

Свойства действий (операций)

Пусть в множестве А определено действие, обозначаемое «∘».

Действие называется неограниченно-применимым, если результат действия х○у определен для любой пары элементов х, уА, т.е. х○уА.

Действие называется коммутативным, если для любой пары элементов х, уА, для которых определен результат z=х○уА, обязательно определен и результат z=у○хА, и при этом z=z (т.е. х○у=у○х).

Действие называется ассоциативным, если для любой тройки элементов х, у, zА, для которой определены результаты (х○у) и ((х○у)○z), обязательно определены и результаты (у○z) и (х○(у○z)), и наоборот. Причем выполняется равенство ((х○у)○z)= (х○(у○z)).

Действие называется обратимым, если для любой пары элементов х, уА всегда существуют такие u, vА, что определены результаты (х○u) и (v○х) и выполняются равенства (х○u)=y (обратимо справа) и (v○х)=y (обратимо слева).

Действие называется сократимым справа, если для любой тройки элементов х, у, zА, для которой определены результаты (х○z) и (у○z), равенство (х○z)=(у○z) выполняется тогда и только тогда, когда x=y. Аналогично, действие называется сократимым слева, если для любой тройки элементов х, у, zА, для которой определены результаты (z○x) и (z○y), равенство (z○x)=(z○y) выполняется тогда и только тогда, когда x=y. Если действие сократимо как справа, так и слева, то оно называется сократимым.

Элемент е_пА называется нейтральным справа относительно данного действия, если для любого хА результат (x○е_п) определен и равен х. Аналогично, элемент е_лА называется нейтральным слева относительно данного действия, если для любого хА результат (е_л○x) определен и равен х. Элемент еА называется нейтральным относительно данного действия, если он является нейтральным как справа, так и слева одновременно, т.е. (е○x)=(x○е)=х для любого хА. При мультипликативной записи нейтральный элемент называется единицей и обозначается «1», при аддитивной записи – нулем и обозначается «0».

Элемент xА называется обратным к элементу хА, если определены результаты (х○х)и (х○х) и имеет место равенство (х○х)=е (обратный справа) и (х○х)=е (обратный слева), где е – нейтральный элемент. Из этого определения следует, что (х)=х. При мультипликативной записи обратный элемент обозначается «х^-1», а при аддитивной – «–х».

Элемент xА называется идемпотентным, если результат (х○x) определен и равен х.

Заметим, что относительно данного действия в множестве может существовать лишь один нейтральный элемент. Действительно, если предположить, что е₁ и е₂ два нейтральных элемента, то для любого элемента хА, в том числе и для х=е₂  (е₁○е₂)=(е₂○е₁)=е₂. И аналогично, для х=е₁  (е₂○е₁)=(е₁○е₂)=е₁. Отсюда следует, что е₁=е₂ и, кроме того, обратным элементом к нейтральному является он сам.

Содержание