Властивості

• Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто , у випадку комплексних чисел є ермітовим, тобто .

• Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).

• Скалярний добуток дистрибутивний по відношенню до додавання та віднімання.

• В евклідовому просторі спряженим по відношенню до лінійного оператора A називається оператор A^*, для якого виконується рівність: для довільних x, y.^[1]

20.Векторний добуток векторів та його властивості

Векторний добуток векторів.Векторним добутком вектора a на вектор b називається вектор, що позначається символами [ab] і визначається наступними трьома умовами:

• 1) модуль вектора [ab] дорівнює |a||b|sin(fi), де fi – кут між векторами a і b;

• 2) вектор [ab] перпендикулярний до кожного з векторів a i b;

v3) напрямок вектора [ab] відповідає правилу “правої руки”.

Це означає, що якщо вектори a,b і [ab] зведені до загального початку, то вектор [ab] має бути спрямованим так, як спрямований середній палець правої руки, великий палець якої спрямований за першим співмножником (тобто за вектором а), а вказівний – за другим (тобто за вектором b).

Векторний добуток залежить від порядку співмножників, а саме:[ab]=-[ba]. Модуль векторного добутку[ab] дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a і b |[ab]|=S. Векторний добуток [ab] дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори a i b колінеарні. Зокрема [aa]=0.

Якщо система координатних осей права і вектори a i b задані в цій системі своїми координатами: a={X_1,Y_1,Z_1}, b={X_2,Y_2,Z_2}, то векторний добуток вектора a на вектор b визначається за формулою: [a,b] = {визначник|(Y_1 Z_1)(Y_2 Z_2)|; - визначник|(X_1 Z_1)(X_2 Z_2)|; визначник|(X_1 Y_1)(X_2 Y_2)|}.